Question

9.试求一个正交的相似变换矩阵，将下列实对称矩阵化为对角矩阵： 2） 怎麼做啊？求解！！！

Answer 1

|A-λE|=
4-λ 0 0
0 3-λ 1
0 1 3-λ
= (4-λ)[(3-λ)^2 - 1]
= (4-λ)^2(2-λ)
所以 A 的特征值为 2,4,4
(A-2E)X=0 的基础解系为: a1=(0,1,-1)'
(A-4E)X=0 的基础解系为: a2=(1,0,0)', a3=(0,1,1)'
a1,a2,a3 已经正交, 单位化后构成矩阵P=
0 1 0
1/√2 0 1/√2
-1/√2 0 1/√2
则P是正交矩阵, 且 P^-1AP = diag(2,4,4).

Answer 2

①首先求出矩阵的特征值
②求出对应的特征向量a1 a2 a3
③将a1 a2 a3 施密特正交化 得到 b1 b2 b3

④矩阵Q=[b1 b2 b3]即为所求（这里向量都是列向量 ）