Question

高中物理 力是否沿杆的方向和机械能守恒问题

如图所示，一根轻的刚性杆长为2l，中点和右端各固定一个质量为m的小球，左端O为水平转轴.开始时杆静止在水平位置，释放后将向下摆动，求从开始释放到摆到竖直位置的过程中，杆对B球做了多少功？

杆对球的弹力是沿杆的，那怎么还对B球有做功？请求高手帮忙谢谢

Answer 1

杆是否对球做功，有两种判断方法：
1、根据 “cheng7672” 所给的方法，可以直接计算出 W 不为零，这就说明杆确实对球做功了。这个结论是根据 “机械能守恒定律” 得出的，是正确的。（不过所考虑的 “整体” 不应该只包含 A、B 两球，还要包括杆；否则，杆对球的力还是外力）

2、你先只考虑一个球的情况：因为杆的一端是自由转动的转轴，所以对杆的任何“一点”（必须是“一个点”而且不能是转轴这一点）作用的外力，只要有“垂直”杆的分力，就会导致杆的转动，而不会让杆产生垂直方向的反作用力（不过在沿杆方向上，杆会产生相应的反作用力，并与之平衡）。也就是说，对于一个小球的情形：杆是不会对小球做功的。
　　而对于 A、B 两球，因为此时的作用点已经有“两个”了；如果这两个点的受力情况有所不同，这就有可能使杆产生垂直方向的力了。

　　另外，可以分析出小球下落的 “角速度”与杆的“半径”的关系，对于一个球的情形：半径越大，角速度越小；半径越小，角速度越大。
　　如果 A、B 没有固连，而是用两根独立的杆分别连于 O 点；长度分别为 L、2L；则 A 的下落速度（即角速度）必然快于 B。
　　现在将两球连在一块儿，那么 A 球就有向下拉动 B 球的动力；B 球则有向上牵制 A 球的阻力；这对相互作用力是通过 A、B 间的杆实现的；所以，杆对 B 球有推动力，做正功；对 A 球有牵制力，做负功（关于后面这一点，可以继续用 “cheng7672” 的方法，计算出杆对 A 球做的功，结果为：- (2/5)·mgl；也就是说：杆对 A、B 两球所做的总功为零）。

追问

A、B是同一杆的，角速度和线速度不是相同的吗？你的讲解好难懂

追答

没错，A、B 的角速度确实是完全相同的（不过线速度则完全不同）；可这并不能说明它们之间没有相互作用力（其实是通过杆 “间接” 实现的作用力）。
　　举个例子：你站在一个滑板上，与滑板一起匀速运动；你的双脚同时向两侧用力扒滑板，但双脚都不滑动，就像是蹲马步一样。此时，你的双脚都与滑板间有 “静摩擦力” ，但它们又具有完全相同的运动速度。
　　所以说，很多时候，物体间是否有相互作用力，不在于它们是否有相对运动，而在于是否有相对运动 “趋势” 。

　　一个球的情况你应该明白了吧？至于“半径越短，旋转越快” 的结论，你可以先记着，以后再证明。
　　A 的半径比 B 短，所以：从一开始，A 就有比 B 更大的“角速度”；而当 A “打算” 更快地旋转时，就受到了杆的阻碍；同时 A 也对杆产生了相应的推动力。这个力最终作用于 B，使 B 本来较慢的速度变得稍快。一快一慢，就使得 A、B 产生了一个折中的公共角速度，A、B 最终一起旋转。但相互作用力已经产生了。并且由于 A 的 “快速运动趋势” 是伴随着整个过程的，所以，整个过程中，A、B 间的相互作用是一直存在的。
　　这些事情其实都是在微观分子层面上发生的，在宏观上看，A、B 仍然有向同的角速度。但在微观上，A、B 两球和杆，都已经发生了 “形变”，所以才出现了我们宏观上称之为 “弹力” 的作用力。

　　上面只是分析问题的一种方法，你完全可以用另一种方法：根据机械能守恒，采用反证法证明这个力（其实是杆对 B 的作用力的一个分力）的存在。假设没有这个力，即只有重力对 A、B 做功。因为 ：
　　A、B 下落的高度之比为 1：2；
所以：
　　A、B 重力势能减少量之比也是 1：2；
根据机械能守恒：
　　A、B 动能之比也是 1：2；
那么：
　　A、B 的速度之比就是 1：√2；
而根据角速度、线速度与半径的关系可知：
　　A、B 的线速度之比应该是 1：2；
这不就是矛盾吗？所以，绝对还有其他力对A、B 做功。
　　“cheng7672” 直接假设这个力对 B 做功为 W，最终算出其值不为零，也说明了这个力的存在。

Answer 2

解：由动能定理对A,B系统，mv(A)^2/2+mv(B)^2/2=mgl+mg*(2l) <1>;
由于A,B连在一根杆上，故ω(A)=ω(B)；
又v(A)=ω(A)*l,v(B)=ω(B)*(2l),故v(A)=v(B)/2 <2>；
由能量守恒，对B,mg*(2l)=W+mv(B)^2/2 <3>;
联立<1><2><3>解得W=-2mgl/5.

Answer 3

A和B具有不同的线速度，写出速度关系，再动能定理就可以了。杆提供的力可不沿杆。

Answer 4

小球做圆周运动，重力与沿竿弹力的合力提供向心力，从力的合成与分解看，竿对球的力只有在最低点时沿竿

Answer 5

杆对球的弹力是垂直于杆的，力的方向与瞬时速度的方向在同一直线上（速度的方向是轨迹的切线，也刚好与杆垂直），可以做功。
解：
先把AB球看作一个整体，那么杆的力就是系统内力，做功不影响系统能量变化，则
由水平到竖直过程中，重力势能转变为2个球的动能，设竖直时A球速度为V，则B球为2V
mgl+mg(2l)=1/2mv^2+1/2m(2v)^2
解得V^2=6/5gl
再单独分析B，这时杆的力对于B是外力，在竖直时的动能等于重力势能的减少量加上杆对球B做的功，由动能定理
1/2m(2v)^2=W+mg(2l) 把V^2=6/5gl代入得
12/5mgl=W+2mgl
W=2/5mgl
所以，杆对B做的功为2/5mgl

追问

杆对球的弹力是沿杆的，运动的方向和弹力的方向垂直，那怎么还对B球有做功？这个才是我疑问的重点，答案我自己有的

追答

为什么你说杆对球的弹力是沿杆的呢？我也很奇怪。
杆对物体的作用力可以沿杆也可以不沿杆，就像你吊单杠，杠对人的作用力可以是竖直向上而垂直于杆吧？
而在题目的情况下，它并没有在意这个力是沿哪里，而只从球的状态变化来了解杆对球的作用力做的功。从最终的结果我们看到，很明显，本题中的作用力必不沿杆，因为如果那样就做不了功。

追问

此时的杆是转动的，不是固定的啊，书上说不固定的话，杆对物体的弹力肯定是沿杆的啊，所以我就迷糊了，那不要从最终结果看的，要怎么判断呢？

追答

尽信书则不如无书，有时候要结合实际情况分析。