Question

正方形边长为20cm，求阴影部分面积

Answer 1

数学之美团为你解答

做如图辅助线，A为中点，容易推断CD和AD分别是2个圆的切线，所以三角形ACD和三角形ABC是全等三角形，BC=CD=20cm，AD=AB=10cm，所以角ACB=角ACD=arctan(1/2)

所以角BAC=角CAD=π/2-arctan(1/2)

 

所以四边形ABCD的面积：S1=2*(AB*BC/2)=2*(10*20/2)=200cm²

 

扇形CBFD的面积：S2=(1/2)*BC²*(2arctan(1/2))=400*arctan(1/2)cm²

 

所以弧面三角形ABFD的面积为：S3=S1-S2=200*(1-2arctan(1/2))cm²

 

而扇形ABED的面积S4=(1/2)*AB²*(π-2arctan(1/2))=50*(π-2arctan(1/2))cm²

 

所以题目所求阴影面积为：S=S4-S3=50*(π-2arctan(1/2))-200(1-2*arctan(1/2))

=(50π+300arctan(1/2)-200)≈96cm²

Answer 2

如图，设正方形在坐标轴上，可以得出两个圆弧的方程：(以下列式中②表示平方）

<1>（x-20)②+y②=20②

<2>x②+(y-20/2)②=(20/2)②

∴<1>x②-40x+y②=0

   <2>x②+y②-20y=0

∴y=2x

∴x=8,y=16,即D点坐标为（8，16）

∴线段OD=√（8×8＋16×16）=8√5

然后，根据圆弧上所切线段的长度，以及圆的半径可以算出OD在两个圆弧上面所占角度和阴影面积