Question

f(x),g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约,

（继续上面的）若存在复数a使得f（a）=g(a)=0
证明：f(x)|g(x)

Answer 1

如果f不能整除g，那么设h(x)是g(x)用f(x)除后的非零余数多项式，即g(x)=f(x)f1(x)+h(x)，则deg h<deg f，而且由于f(a)=g(a)=0，则h(a)=g(a)-f(a)f1(a)=0-0*f1(a)=0。

任何一个复数a，如果一旦存在有理数多项式p(x)，满足a是他的根。那么满足q(a)=0的有理数多项式里一定有个次数最低的（设为q(x))，这个是当然存在的，因为多项式次数是有下限的。

而且关键的是：剩下的所有满足p(a)=0的有理数多项式p(x)，就都是q(x)的倍数。这个很容易证明。设有r(x)不是q(x)的倍数，且r(a)=0，则r(x)被q(x)除的非零余式多项式s(x)也满足s(a)=0，但这样一来，s的次数比q还要低，这就与q的次数最低的定义相矛盾了。所以，相当于这个a，有个以他为根的次数最低的“本原多项式”。

简单的说，设这个根a在有理数域的“本原多项式”是q(x)，因为h(a)=f(a)=0，那么必定有q(x)|h(x)，和q(x)|f(x)。

因为deg q<=deg h，而且deg h<deg f（因为假设了g无法被f除尽），所以deg q < deg f，而且q(x)|f(x)，这和f在有理数域上不可约，是互相矛盾的！

这些推理里用到了多项式乘除法，对于有理数域是封闭性操作的性质，不过这个你应该都懂。

追问

膜拜~_~多谢啦~解释的很详细易懂~
请问能不能帮我看看我今天问的其他两个问题

追答

给个link的话，我可以抽空看看，本人水平也很有限。

Answer 2

不知道