Question

椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为F1,F2 ,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2

且△AB1B2是面积为4的直角△

(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过B1做直线L交椭圆于P,Q两点,使PB2垂直于QB2,求直线L的方程

Answer 1

1、设椭圆方程为：
x^2/a^2+y^2/b^2=1,
F1(-c,0),F2(c,0),
B1(-c/2,0)B2(c/2,0),
∴|B1B2|=c,
|OA|=b,
∵B1A⊥B2A，|B1A|=|B2A|，
∴△AB1B2是等腰RT△，
∴|OA|=|B1B2|/2=c/2,
b=c/2,
S△AB1B2=|B1B2|*|OA|/2=(c*c/2)/2=4,
∴c=4,
b=2,
∴a^2=b^2+c^2=20,
a=2√5
∴椭圆方程为：x^2/20+y^2/4=1,
离心率e=c/a=2√5/5。
2、设P（x1,y1),
Q(x2,y2),
F1（-4，0），F2（4，0），
B1（-2，0），B2（2，0），
向量QB2=（2-x2,-y2),
向量PB2=（2-x1,-y1),
∵PB2⊥QB2，
∴向量QB2·PB2=0，
设PQ方程为：y=k(x+2),
y1=k(x1+2),
y2=k(x2+2),
y1y2=k^2[x1x2+2(x1+x2)+4],
(2-x2)(2-x1)+y1y2=0,
4-2(x1+x2)+x1x2+k^2[x1x2+2(x1+x2)+4]=0,
x1x2(1+k^2)+(x1+x2)(2k^2-2)+4k^2-4=0,(1)
x^2/20+k^2(x+2)^2/4=1,
(1+5k^2)x^2+20k^2x+20k^2-20=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-20k^2/(1+5k^2),
x1x2=20(k^2-1)/(1+5k^2),
代入（1）式，
20(k^2-1)(1+k^2)/(1+5k^2)-20k^2*2(k^2-1)/(1+5k^2)+4(k^2-1)=0,
(k^2-1)(20k^2+20-40k^2+4+20k^2)=0,
24(k^2-1)=0,
∴k=±1，
∴直线l的方程为：y=±(x+2).

Answer 2

1、设椭圆方程为：
x^2/a^2+y^2/b^2=1,
F1(-c,0),F2(c,0),
B1(-c/2,0)B2(c/2,0),
∴|B1B2|=c,
|OA|=b,
∵B1A⊥B2A，|B1A|=|B2A|，
∴△AB1B2是等腰RT△，
∴|OA|=|B1B2|/2=c/2,
b=c/2,
S△AB1B2=|B1B2|*|OA|/2=(c*c/2)/2=4,
∴c=4,
b=2,
∴a^2=b^2+c^2=20,
a=2√5
∴椭圆方程为：x^2/20+y^2/4=1,
离心率e=c/a=2√5/5。
2、设P（x1,y1),
Q(x2,y2),
F1（-4，0），F2（4，0），
B1（-2，0），B2（2，0），
向量QB2=（2-x2,-y2),
向量PB2=（2-x1,-y1),
∵PB2⊥QB2，
∴向量QB2·PB2=0，
设PQ方程为：y=k(x+2),
y1=k(x1+2),
y2=k(x2+2),
y1y2=k^2[x1x2+2(x1+x2)+4],
(2-x2)(2-x1)+y1y2=0,
4-2(x1+x2)+x1x2+k^2[x1x2+2(x1+x2)+4]=0,
x1x2(1+k^2)+(x1+x2)(2k^2-2)+4k^2-4=0,(1)
x^2/20+k^2(x+2)^2/4=1,
(1+5k^2)x^2+20k^2x+20k^2-20=0,
根据韦达定理，
x1+x2=-20k^2/(1+5k^2),
x1x2=20(k^2-1)/(1+5k^2),
代入（1）式，
20(k^2-1)(1+k^2)/(1+5k^2)-20k^2*2(k^2-1)/(1+5k^2)+4(k^2-1)=0,
(k^2-1)(20k^2+20-40k^2+4+20k^2)=0,
∴k=±1，
∴直线l的方程为：y=±(x+2).endeba