Question

如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC

（2012•成都）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=
92a时，P、Q两点间的距离 （用含a的代数式表示）．

Answer 1

⑴证明：已知：E是斜边BC的中点 所以BE=EC
△ABC是等腰直角三角形 所以AB=AC ，∠ABC=∠ACB 当点Q在线段AC上，且AP=AQ时 BP=AB-AP=AC-AQ=QC 所以△BPE≌△CQE（SAS)
⑵图片不详无法证明

Answer 2

（1）∵△ABC为等腰直角三角形
         ∴AB=AC     ∠B=∠C
         ∵AP=AQ
         ∴AP-AB=AC-AQ  即BA=CQ
         ∵E为BC中点
         ∴BA=CE
         ∴在△BPE和△CQE中
         ∵  BP=CQ
               ∠B=∠C
              BE=CE
          ∴△BPE=△CQE（SAS）
（2）设EQ和AB交点为G
         ∵△DEF，△ABC为等腰直角三角形
         ∴∠F=∠DEQ =∠B=∠C
         ∵∠BPE和∠DPA为对顶角
         ∴∠BPE=∠DPA=∠PGE+∠PEG(三角形外角定则)
         ∵∠QEC=∠BGE+∠B
      又∵∠B=∠PEG 
          ∴∠BPE=∠CEQ(等量代换)

连接QP可得△PAQ为直角三角形
           ∵△BPE∽△CEQ（已知）
           ∴BP/CE=BE/CQ
           ∵BE=CE   BP=a  CQ=9/2a
           ∴BE=CE=32a  ∴BC=32a
           ∵AB=AC   且AB²+AC²=BC²
           ∴AB=AC=3a
          ∴AQ=3/2A
          ∴AP=2a
          ∴QP=√AP²+AQ²=3√5a/2

Answer 3

证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴，
∵BP=a，CQ=a，BE=CE，
∴BE=CE=a，
∴BC=3a，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，
∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，
连接PQ，
在Rt△APQ中，PQ==a．