Question

函数f(x)=x-2/x+alnx的单调区间

Answer 1

定义域为x>0
f'(x)=1+2/x^2+a/x=1/x^2*(x^2+ax+2)
解方程x^2+ax+2=0,
delta=a^2-8=0,得:a=2√2,-2√2
讨论a：
1）若-2√2=<a<=2√2, 则delta<=0, 此时f'(x)>=0, 函数在定义域x>0内都单调增。
2）若a>2√2, 则方程有两个根，因为两根积为2， 两根和为-a<0, 所以这是两个负根，都不在定义域内，故在定义域x>0内，函数单调增
3）若a<-2√2, 则方程有两个根，因为两根积为2， 两根和为-a>0, 所以这是两个正根，记为x1, x2,且x1<x2, x1=(-a-√delta)/2, x2=(-a+√delta)/2, 故在0<x<x1或x>x2时，函数单调增；在x1<x<x2内，函数单调减

Answer 2

定义域x>0；f'(x)=1+2/x^2+a/x=0，x^2+ax+2=0；判别式a^2-8>=0（abs(a)>=2sqrt(2)时，有两个实根（-a+-sqrt(a^2-8))/2，所以
1、abs(a)<2sqrt(2)，函数单调增；
2、a<-2sqrt(2)时，函数单调区间分成三段，0<x<（-a+sqrt(a^2-8))/2，单调增；（-a+sqrt(a^2-8))/2<=x<=（-a-sqrt(a^2-8))/2，单调减，x>（-a-sqrt(a^2-8))/2，单调增；
3、a>2sqrt(2)时，实根在定义域之外，因此函数也是单调增