Question

已知x4+x3+x2+x+1=0,求 1+x+x2+...+x2009的值

Answer 1

1+x+x²+...+x2009
=(1+x+x²+x³+x⁴)+x^5(1+x+x²+x³+x⁴)+...+(x^2001)(1+x+x²+x³+x⁴)+x^2005(1+x+x²+x³+x⁴) (即五个一组)
=0

提示：从第一项开始，5个一组，正好402组，每组都包含因式1+x+x²+x³+x⁴，各组的值都等于0，和等于0。

Answer 2

∵x4+x3+x2+x+1=0
∴ 1+x+x2+...+x2009
=﹙1+x+x²+x³+x^4)+x^5(1+x+x²+x³+x^4)+……+x^2005(1+x+x²+x³+x^4)
=0

Answer 3

观察： 1+x+x2+...+x2009，即x的0次方开始+到x的2009次方，总共有2009-0+1=2010个数
因为：x4+x3+x2+x+1=0， 所以：x5+x6+x7+x8+x9=x5(1+x1+x2+x3+x4)=0
即，每5个相邻的数之和为0.
2010÷5=402，可以被5整除，则1+x+x2+...+x2009=402个0相加=0

Answer 4

x9+x9+x7+x6+x5=x5（x4+x3+x2+x+1）=0
。
。
1+x+x2+...+x2009每5个一组都等于0，最后一共402组和=0