Question

f(x)在[-2,2]中二阶可导，且|f(x)|<1，又[f(0)]^2+[f'(0)]^2=4。证明G(x)=[f(x)]^2+[f'(x)]^2在(-2,2)上存

f(x)在[-2,2]中二阶可导，且|f(x)|<1，又[f(0)]^2+[f'(0)]^2=4。证明G(x)=[f(x)]^2+[f'(x)]^2在(-2,2)上存在极值。

Answer 1

在[0,2]上对f(x)用Lagrange中值定理，存在c位于(0,2)使得f'(c)=(f(2)-f(0))/2，于是|f'(c)|<=(|f(2)+|f(0)|)/2<=1，G(c)=f^2(c)+f'^2(c)<=2。

同理在(-2,0)上存在d，使得G(d)<=2。

注意到G(0)=4，因此G(x)在[d，c]上的最大值必在(d，c)上达到（即不在x=d，c这两点达到），于是区间内部的最大值必是极大值，得证。

一阶导数和二阶导数的区别

一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0，则递增；一阶倒数小于0，则递减；一阶导数等于0，则不增不减。

二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0，图象为凹；二阶导数小于0，图象为凸；二阶导数等于0，不凹不凸。而二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0，图象为凹；二阶导数小于0，图象为凸；二阶导数等于0，不凹不凸。

Answer 2

在[0,2]上对f(x)用Lagrange中值定理，存在c位于(0,2)使得f'(c)=(f(2)-f(0))/2，于是
|f'(c)|<=(|f(2)+|f(0)|)/2<=1，G(c)=f^2(c)+f'^2(c)<=2。
同理在(-2,0)上存在d，使得G(d)<=2。
注意到G(0)=4，因此G(x)在[d，c]上的最大值必在(d，c)上达到（即不在x=d，c这两点达到），
于是区间内部的最大值必是极大值，得证。