Question

高数问题，求救，数列求和，积分，怎么做呢？题目如下~~~

Answer 1

1、积分(从pi/4到pi/2)cot^nxdx 做变量替换x=pi/2-t，

=积分(从0到pi/4)tan^nxdx
因此an+a(n+2)=(-1)^n*积分(从0到pi/4)tan^nx(1+tan^2x)dx
=(-1)^n*积分(从0到pi/4)tan^nxdtanx
=(-1)^n*(tanx)^(n+1)/(n+1)|上限pi/4下限0
=(-1)^n/(n+1)。
由此知道级数(an+a(n+2))是Leibniz级数，由Leibniz判别法知道级数收敛。
2、注意到an和a(n+2)同号，且|an+a(n+2)|=1/(n+1)。因此有|an|<=1/(n+1)。
故|an/n^s|<=1/n^(s+1)，由比较判别法知道级数an/n^s 在s>0时绝对收敛。