Question

已知椭圆C的方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为1/2

设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0），求y0的取值范围

Answer 1

一个焦点是F(1,0)，那么c=1
离心率e=c/a=1/2, ∴a=2
b²=a²-c²=3
∴椭圆C的方程:x²/4+y²/3=1
MN斜率不存在时P(0,0),即y0=0

MN斜率存在时，设为k,k≠0
则MN：y=k(x-1) 代入x²/4+y²/3=1
3x²+4k²(x-1)²=12
(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0
Δ>0恒成立
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点Q(x',y')
∴2x'=x1+x2=8k²/(4k²+3)
∴x'=4k²/(4k²+3),y'=k(x'-1)=-3k/(4k²+3)
∵线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0）
∴kPQ*k=-1
即(y0-y')/(-x')*k=-1
∴y0-y'=x'/k
y0=y'+x'/k
=-3k/(4k²+3)+4k/(4k²+3)
=k/(4k²+3)
=1/(4k+3/k)
当k>0时，4k+3/k≥2√(4k*3/k)=4√3
∴0<1/(4k+3/k)≤√3/12
k<0时，-4k-3/k≥2√(4k*3/k)=4√3
0>1/(4k+3/k)≥-√3/12
即0<y0≤√3/12或-√3/12≤y0<0

综上所述，-√3/12≤y0≤√3/12