Question

若函数f(x)=x3+ax2-a2x+1在(-1,1)无极值点则a的取值范围为？

求详解！谢谢

Answer 1

f'(x)=3x^2+2ax-a^2,
原函数无极值点意味着导数在（-1,1）上恒为非负或者恒为非正；
由于二次项系数为3，所以抛物线开口向上，
f'(x)=(3x-a)(x+a),零点为(a/3,0)和(-a,0)，
第一种情况：a=0，f'(x)恒为非负，满足条件；
第二种情况：a不等于0，则a/3和-a必定在原点的两侧，所以f'(0)必定小于0，
所以必须满足在(-1,1)上f'(x)小于等于0.
只有当-1和1在两个零点之间的时候，才能满足f'(x)恒为非正,
所以有：a>0时，需满足-a<=-1且a/3>=1,解得a>=3；
a<0时，需满足a/3<=-1且-a>=1,解得a<=-3；
综上所述，a的取值范围是(负无穷，-3],0,[3,正无穷)

Answer 2

对函数求一阶导，fprime(x)=3x^2+2ax-a^2，令fprime(x)=0,则要求该方程在(-1,1)上无解。作图法，然后分情况讨论，对称轴在区间内时，计算两个端点取值和对称轴处导函数取值。对称轴不在区间内时，再分情况讨论。。。。。。