Question

设函数y＝(x)定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f(m+n)＝f(m)·f(n),且当x＞0时，

Answer 1

设函数y＝f(x)定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f(m+n)＝f(m)·f(n),且当x＞0时，0＜f(x)<1，①求证:f(0)＝1且当x＜0时，f(x)＞1，②求证:f(x)在R上是减函数
(1)证明：∵f(x)定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f(m+n)＝f(m)·f(n)
令m=1,n=0
则，f(0+1)＝f(0)·f(1)==>f(0)=f(1)/f(1)=1
∵当x＞0时，0＜f(x)<1
令n=-m 那么有f(m-m)=f(m)f(-m)=f(0)=1
∴以f(m)和f(-m)互为倒数
设m∈[0,+∞)，则0<f(m)<=1
∴其倒数f(-m) ∈[1,+∞)

∴当x<0时，有f(x)>1成立
(2)证明：设n>0 ，则0<f(n)<1
∵f(m+n)=f(m)f(n) ∴f(m+n) =f(m)f(n)<f(m)
又m+n>m∴对于任意实数x2>x1 都有f(x1)>f(x2)
∴函数f（x）在R上单调递减

Answer 2

问题