Question

第二换元法求不定积分的题目 在线等 小1题

Answer 1

令x = sinθ、dx = cosθ dθ、tanθ = x/√(1 - x²)
∫ dx/[1 + √(1 - x²)]
= ∫ cosθ/(1 + cosθ) dθ
= ∫ [(1 + cosθ) - 1]/(1 + cosθ) dθ。。。①
= ∫ dθ - ∫ dθ/[2cos²(θ/2)]
= θ - ∫ sec²(θ/2) d(θ/2)
= θ - tan(θ/2) + C
= θ - sinθ/(1 + cosθ) + C
= arcsin(x) - x/[1 + √(1 - x²)] + C
或从①：
∫ [(1 + cosθ) - 1]/(1 + cosθ) dθ
= ∫ dθ - ∫ (1 - cosθ)/[(1 + cosθ)(1 - cosθ)] dθ
= θ - ∫ (1 - cosθ)/sin²θ dθ
= θ - ∫ (csc²θ - cscθcot²) dθ
= θ + cotθ - cscθ + C
= arcsin(x) + √(1 - x²)/x - 1/x + C