Question

初三数学如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点 （不与点A、B重合）

当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似？请写出解答过程

Answer 1

解：（1）过点O作OE⊥AB于E，
则AE=BE=12AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB•cos∠B=2×32=3，
∴AB=23；
故答案为：23；

（2）连接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAB=50°，
∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC=12AB=3．
∴当AC的长度为3时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似．

Answer 2

解：过点O作OE⊥AB于E，
则AE=BE= 12AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB•cos∠B=2× 32= 3，
∴AB=2 3；
故答案为：2 3；
（2）连接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAB=50°，
∴∠BOD=2∠DAB=100°；
（3）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC= 12AB= 3．

Answer 3

O(∩_∩)O~