Question

设有限群G恰好具有两个n阶子群H，K，并且G由H，K生成，证明H，K是G的正规子群

Answer 1

我先理解一下你这个题。为了偷懒，我认为H和K是G的仅有的两个不同的n阶子群，除它们以外没有别的n阶子群了（所谓“恰好”）。如果不对请告知。

这样对于K中的任何元素k，只要证明kHk^(-1)=H即可（因为G是H和K生成的）说明H正规。现在
k K k^(-1)=K，而k H k^(-1)要么是K，要么是H。如果还是K的话，那就说明kGk^(-1)=K，但共轭是个内自同构，所以不可能（这里要用到K和H是不同的，或者说K不是G的全部）。

K的正规性类似。