Question

已知函数f(x)=sin(wx+φ)(w<0,0≤φ<兀)是R上的偶函数，其图像关于点M(3兀/4，0)对称，

且在区间[0，兀/2]上为单调函数，试确定w的值
为什么∵f(x)在区间[0,π/2]上是单调函数∴f(x)的最小正周期大于等于π ∴2π/ω≥π
最小正周期大于等于π是怎么得出的？

Answer 1

这是正弦函数只在半个周期内是单调增的，在另半周期是单调减的。现在f(x)在区间[0,π/2]上是单调函数,所以这个区间最多是半个周期，即半周期到少为这个区间的长度π/2
因此周期>=π/

Answer 2

已知函数f(x)=sin(wx+φ)(w<0,0≤φ<兀)是R上的偶函数，其图像关于点M(3兀/4，0)对称，且在区间[0，兀/2]上为单调函数，试确定w的值
为什么∵f(x)在区间[0,π/2]上是单调函数∴f(x)的最小正周期大于等于π ∴2π/ω≥π
最小正周期大于等于π是怎么得出的？

∵函数f(x)=sin(wx+φ)(w<0,0≤φ<兀)是R上的偶函数，
函数f(x)为R上的偶函数，时存在二种情况：
∴f(x)=sin(wx+φ)=coswx==>φ=π/2
∴f(x)=sin(wx+φ)=-coswx==>φ=-π/2
∵其图像关于点M(3π/4,0)对称
函数f(x) 图像关于点M(3π/4,0)对称时存在二种情况：
点M(3π/4,0)在函数f(x) 图像减区间
f(3π/4)=sin(w3π/4+π/2)= π==>w3π/4+π/2=0==>w=2/3
当点M(3π/4,0)在函数f(x) 图像增区间
f(3π/4)=sin(w3π/4-π/2)=0==> w3π/4+π/2=0==>w=2/3

∵f(x)在区间[0，兀/2]上为单调函数
其含义是f(x)在区间[0，兀/2]上为单调函数（增或减），但这并不等于函数f(x)的单调区间为[0，兀/2]，换句话说函数f(x)的单调区间至少为[0，兀/2]，即其单调区间可以比[0，兀/2]大，
又因为函数f(x)的单调区间为[0，兀/2]时，即T/2=π/2==>T=π，当f(x)的单调区间大于等于[0，兀/2]时，即T/2>=π/2==>T>=π

当函数f(x)的单调区间为[0，兀/2]时，w=2，f(x)=sin(2x+π/2)或f(x)=sin(2x-π/2)
当函数f(x)的单调区间大于[0，兀/2]时，w=2/3，f(x)=sin(2/3x+π/2)或f(x)=sin(2/3x-π/2)

Answer 3

解：∵函数f（x）是R上的偶函数
∴图象关于y轴对称，
∴f（0）=±1，sinφ=±1．
即φ=kπ±π/2,k∈Z
又∵0≤φ<π
∴φ=π/2
从而f（x）=cos（ωx ）
又∵其图像关于点M(3兀/4，0)对称，且在区间[0，兀/2]上为单调函数
∴cos(3π/4*w)=0
∴3π/4=kπ±π/2
∴w=(4k+2)/3,k∈Z
又∵[0,wπ/2]⊆[0，π]，
∴wπ/2≤π
即w≤2
∴w=2/3或w=2