Question

在△ABC中,已知角A、B、C所对的边为a、b、c,cosB=4/5,且8√2sin(C+π/4)+2cos(A+B)=5

(1)求A(2)若a=5，求三角形ABC面积。

Answer 1

第一个问题：
∵cosB＝4/5，∴B是锐角，且sinB＝√［1－（cosB）^2］＝√［1－（4/5）^2］＝3/5。
∵8√2sin（C＋π/4）＋2cos（A＋B）＝5，
∴8√2［sinCcos（π/4）＋cosCsin（π/4）］＋2cos（A＋B）＝5，
∴8sinC＋8cosC＋2cos（A＋B）＝5，
∴8sin（A＋B）－8cos（A＋B）＋2cos（A＋B）＝5，
∴8sin（A＋B）－6cos（A＋B）＝5，
∴8sinAcosB＋8cosAsinB－6cosAcosB＋6sinAsinB＝5，
∴8×（4/5）sinA＋8×（3/5）cosA－6×（4/5）cosA＋6×（3/5）sinA＝5，
∴32sinA＋24cosA－24cosA＋18sinA＝25，
∴50sinA＝25，
∴sinA＝1/2，
∴A＝30°，或A＝150°。

第二个问题：
由正弦定理，有：b/sinB＝a/sinA，∴b＝asinB/sinA＝5×（3/5）/（1/2）＝6。
于是：
一、当A＝30°时，cosA＝√3/2。
∴S(△ABC)
＝（1/2）absinC＝（1/2）×5×6sin（A＋B）＝15（sinAcosB＋cosAsinB）
＝15［（1/2）×（4/5）＋（√3/2）×（3/5）］＝3（2＋3√3/2）＝（12＋9√3）/2。

二、当A＝150°时，cosA＝－√3/2。
∴S(△ABC)
＝（1/2）absinC＝（1/2）×5×6sin（A＋B）＝15（sinAcosB＋cosAsinB）
＝15［（1/2）×（4/5）＋（－√3/2）×（3/5）］＝3（2－3√3/2）＝（12－9√3）/2。

Answer 2

　　两角和的正弦与余弦公式：

　　（1）       sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

　　（2）       cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；

1. cosB=4/5=>角B一定是锐角=>sinB=3/5

　　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

　　sin(C+π/4)=sinCcosπ/4 + cosCsinπ/4=√2(sinC+cosC)/2

　　8√2sin(C+π/4)

　　=8(sinC+cosC)

　　=8sin(π-A-B)+8cos(π-A-B)

　　=8sin(A+B)-8cos(A+B)

　　=8sinAcosB+8cosAsinB-8cosAcosB+8sinAsinB

　　8√2sin(C+π/4)+2cos(A+B)

　　=8sinAcosB+8cosAsinB-8cosAcosB+8sinAsinB+2cosAcosB-2sinAsinB

　　=8sinAcosB+8cosAsinB-6cosAcosB+6sinAsinB

　　=8sinA*4/5+8cosA*3/5-6cosA*4/5+6sinA*3/5

　　=10sinA=5

　　sinA=1/2

　　A=π/6  或 A=5π/6

sinB=3/5>1/2=sinπ/6，且B是锐角

所以B>π/6 

若A=5π/6,则A+B>π,不成立。所以只能有A=π/6, A也是锐角。

　　2. 过C作AB垂线，垂足为D

a=5,即BC=5,

因为cosB=4/5

所以BD=4,高CD=3

又因A=π/6时，AC=2CD=6, AD=3√3

所以ABC面积=3（4+3 √3 ）/2