Question

如图，抛物线y=1/2x²-3/2x-2与直线y=1/2x+4交于点A和点B，与x轴交于点E，F两点，点C是y轴上的动点．

如图，抛物线y=1/2x²-3/2x-2与直线y=1/2x+4交于点A和点B，与x轴交于点E，F两点，点C是y轴上的动点．
（1）求A，B的坐标；
（2）当∠ACB=90°时，求△ABC的面积；
（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在这样的点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1、将直线方程y=1/2x+4代入抛物线方程y=1/2x^2-3/2x-2则有：
1/2x+4=1/2x^2-3/2x-2 1/2x^2-2x-6=0 x^2-4x-12=0 (x-6)(x+2)=0
x=-2或者x=6
当x=-2时，y=1/2*(-2)+4=3 当x=6时，y=(1/2)*6+4=3+4=7
所以：A点坐标为：(-2,3)，B点坐标为：(6,7)
2、设C点坐标为(0,c)
直线AC的斜率为k1=(3-c)/(-2-0=(c-3)/2
直线BC的斜率为k2=(7-c)/(6-0)=(7-c)/6
∠ACB=90°，则直线AC垂直BC，故有k1*k2=-1，则：(c-3)/2*(7-c)/6=-1
(c-3)(7-c)=-12 7c-c^2-21+3c=-12 c^2-10c+9=0 (c-1)(c-9)=0
所以c=1或者c=9
当C的坐标为(0,1)时，|AC|=√[(-2-0)^2+(3-1)^2=2√2 |BC|=√[(6-0)^2+(7-1)^2]=6√2
三角形ABC的面积为：|AC||BC|/2=2√2*6√2/2=12
当C的坐标为(0,9)时，|AC|=√[(-2-0)^2+(3-9)^2=2√10 |BC|=√[(6-0)^2+(7-9)^2]=2√10
三角形ABC的面积为：|AC||BC|/2=2√10*2√10/2=20
3、若抛物线上存在P点，使得E，F，C，P为顶点的四边形是平行四边形，设P的坐标为：(m,n)
因为PC\\EF，则C的坐标为（0,n）
y=1/2x²-3/2x-2与X轴的交点为：1/2x²-3/2x-2=0 x^2-3x-4=0 (x+1)(x-4)=0
所以E点坐标为(-1,0)，F点的坐标为(4,0)
直线EC的斜率为：k3=(n-0)/(0+1)=n
直线PF的斜率为：k4=(n-0)/(m-4)=n/(m-4)
又因为EC\\PF，则k3=k4 n=n/(m-4) ,n不等于0,则m-4=1 m=5
m=5代入抛物线方程：n=1/2*25-15/2-2=5-2=3
所以存在P点，坐标为（5，3），使得E，F，C，P为顶点的四边形是平行四边形。

Answer 2

1、将直线方程y=1/2x+4代入抛物线方程y=1/2x^2-3/2x-2则有：
1/2x+4=1/2x^2-3/2x-2 1/2x^2-2x-6=0 x^2-4x-12=0 (x-6)(x+2)=0
x=-2或者x=6
当x=-2时，y=1/2*(-2)+4=3 当x=6时，y=(1/2)*6+4=3+4=7
所以：A点坐标为：(-2,3)，B点坐标为：(6,7)
2、设C点坐标为(0,c)
直线AC的斜率为k1=(3-c)/(-2-0=(c-3)/2
直线BC的斜率为k2=(7-c)/(6-0)=(7-c)/6
∠ACB=90°，则直线AC垂直BC，故有k1*k2=-1，则：(c-3)/2*(7-c)/6=-1
(c-3)(7-c)=-12 7c-c^2-21+3c=-12 c^2-10c+9=0 (c-1)(c-9)=0
所以c=1或者c=9
当C的坐标为(0,1)时，|AC|=√[(-2-0)^2+(3-1)^2=2√2 |BC|=√[(6-0)^2+(7-1)^2]=6√2
三角形ABC的面积为：|AC||BC|/2=2√2*6√2/2=12
当C的坐标为(0,9)时，|AC|=√[(-2-0)^2+(3-9)^2=2√10 |BC|=√[(6-0)^2+(7-9)^2]=2√10
三角形ABC的面积为：|AC||BC|/2=2√10*2√10/2=20
3、若抛物线上存在P点，使得E，F，C，P为顶点的四边形是平行四边形，设P的坐标为：(m,n)
因为PC\\EF，则C的坐标为（0,n）
y=1/2x²-3/2x-2与X轴的交点为：1/2x²-3/2x-2=0 x^2-3x-4=0 (x+1)(x-4)=0
所以E点坐标为(-1,0)，F点的坐标为(4,0)
直线EC的斜率为：k3=(n-0)/(0+1)=n
直线PF的斜率为：k4=(n-0)/(m-4)=n/(m-4)
又因为EC\\PF，则k3=k4 n=n/(m-4) ,n不等于0,则m-4=1 m=5
m=5代入抛物线方程：n=1/2*25-15/2-2=5-2=3
所以存在P点，坐标为（5，3），使得E，F，C，P为顶点的四边形是平行四边形。，采采