判断广义积分敛散性
∫(1→∞)(1/x*(x^2+1)^1/3)dx要是乘x是发散要是乘x^(5/3)是收敛怎么不同方法结果不一样啊...
∫(1→∞)(1/x*(x^2+1)^1/3)dx
要是乘x是发散
要是乘x^(5/3)是收敛
怎么不同方法结果不一样啊 展开
要是乘x是发散
要是乘x^(5/3)是收敛
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你用的是Cauchy 判别法(或比较判别法):若
( x^p)*{1/[x*(x^2+1)^(1/3)]} →C (x→∞),
则当0<C<= ∞且p<=1时积分发散;当0<=C< ∞且p>1时积分收敛。
这里,乘x时,得
x*{1/[x*(x^2+1)^(1/3)]}→0 (x→∞),
不能应用该判别法,因此得不出发散的结论的。
( x^p)*{1/[x*(x^2+1)^(1/3)]} →C (x→∞),
则当0<C<= ∞且p<=1时积分发散;当0<=C< ∞且p>1时积分收敛。
这里,乘x时,得
x*{1/[x*(x^2+1)^(1/3)]}→0 (x→∞),
不能应用该判别法,因此得不出发散的结论的。
追问
此题中,limxf(x)不是等于0吗,极限存在啊,那么根据比较判别法不是积分发散吗,为什么不能用啊
追答
limxf(x)=0,不符合判别法中的判别发散的条件“ 当0<C<= ∞且p<=1时积分发散”!
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看分母,奇点在x=0,但是积分是从1开始的,所以无需考虑,只需考虑积分上限的无穷处
即需要使用比较判别法
因为
0<1/x*(x^2+1)^1/3<1/x*(x^2)^1/3=1/x^(5/3)
而后者的在[1,∞]上积分是收敛的,因为p=5/3>1
所以收敛
你的
“要是乘x是发散
要是乘x^(5/3)是收敛”
不知是什么意思==
这里只需用到
当a>0,
∫[a,∞] 1/x^p dx 收敛当且仅当p>1
即需要使用比较判别法
因为
0<1/x*(x^2+1)^1/3<1/x*(x^2)^1/3=1/x^(5/3)
而后者的在[1,∞]上积分是收敛的,因为p=5/3>1
所以收敛
你的
“要是乘x是发散
要是乘x^(5/3)是收敛”
不知是什么意思==
这里只需用到
当a>0,
∫[a,∞] 1/x^p dx 收敛当且仅当p>1
更多追问追答
追问
我用的是一个推论啊
追答
你请说出推论
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第一题只要收敛和发散就好
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原函数是1/2×ln
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