Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），

C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

抛物线过A、C，可设Y=a(X+4)(X-2)，又过B(0，-4)，
∴-4=a*(-8)，a=1/2。
∴解析式为Y=1/2(X^2+2X-8)=1/2X^2+X-4，
⑵易得直线AB解析式为：Y=-X-4，
过M作MN⊥X轴于D，交AB于N，
M(m，1/2m^2+m-4)，N(m，-m-4)，
MN=-1/2m^2-2m,
SΔAMB=SΔAMN+SΔBMN=1/2MN(AD+OD)=-2m^2-8m=-2(m+2)^2+8,
∴当m=-2时，S最大=8，
⑶OB=4，
①当PQ∥OB时，设P(p，1/2p^2+p-4)，则Q(p，-p)，
∴PQ=|1/2p^2+2p-4|=4
p^2+4p-8=±8，p=-2±2√5或p=-4、0(不合题意，舍去)，
②当OB为平行四边形的对角线，
O、B中点为(0，2)，也是P、Q的中点，
∴(1/2p^2-4)/2=1，p=±2√3，
综上所述：Q1(-2+2√3，2-2√3)，Q2(-2-2√3，2+2√3)，Q3(-4，4)，
Q4(2√3，-2√3)，Q5(-2√3，2√3)。