Question

高一数学线面垂直证明困难题目，高手来、、

如图，已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，过P作PO⊥平面ABC于O，连接OA，OB，OC。 求证：AC⊥平面PBO

Answer 1

证明：因为PO⊥平面ABC，所以：
PA、PC在平面ABC内的射影分别为AO、CO
又PA⊥BC，PC⊥AB，且BC、AB均在平面ABC内
所以三垂线定理可知：
AO⊥BC，CO⊥AB
这就是说点O是△ABC的垂心
那么：BO⊥AC
又PO⊥AC，PO与BO是平面PBO内的两条相交直线
所以由线面垂直的判定定理可得：
AC⊥平面PBC

追问

PA、PC在平面ABC内的射影分别为AO、CO

这个你是怎么知道的

追答

O是垂足，点A和点C分别是斜足。

Answer 2

由于 PO⊥平面ABC于O 所以PO⊥AC；

PA⊥BC 加上PO⊥BC 可以推出 BC⊥APO，进而推出AO⊥BC
同理 CO⊥AB
在三角形ABC中由于 AO⊥BC，CO⊥AB 三个垂线交于一点 ，可知 BO⊥AC；

由以上可知 PO⊥AC， BO⊥AC 可以推出 AC ⊥PBO