Question

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，如图三，当∠DAB=90°是，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有什么关系

我先证得△CEA和△CFA全等，又证△CED和△CFB全等，接下来怎么证？？

Answer 1

证明：（1）在四边形ABCD中，
∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°．
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠ACB=∠ACD=30°．
∴AB=AD=1 2 AC，
即AB+AD=AC．
（2）AB+AD=AC．
证明如下：如图②，过C点分别作AD和AB延长线的垂线段，垂足分别为E、F．
∵AC平分∠DAB，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠D=180°，
∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠CBF=∠D．
又∵∠CED=∠CFB=90°，
∴△CED≌△CFB．
∴ED=BF．
∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF．
∵AC为角平分线，∠DAB=120°，
∴∠ECA=∠FCA=30°，
∴AE=AF=1 2 AC，
∴AE+AF=AC，
∴AB+AD=AE+AF=AC．
∴AB+AD=AC．
（3）AB+AD= 2 AC．
证明如下：如图③，过C点分别作AB和AD延长线的垂线段，垂足分别是E、F．
∵AC平分∠DAB，
∵CE⊥AD，CF⊥AF，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠ADC+∠FDC=180°，
∴∠ABC=∠FDC．
又∵∠CEB=∠CFD=90°．
∴△CFB≌△CED．
∴CB=CD．
延长AB至G，使BG=AD，连接CG．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，
∴∠CBG=∠ADC．
∴△GBC≌△ADC．
∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°．
∴∠ACG=90°．
∴AG= 2 AC．
∴AB+AD= 2 AC．

追问

错了吧........

Answer 2

因为 CF=AF=CE, FB=DE=AE-AD
AF=AB-FB=AB-(AE-AD)
所以 AF=(AB+AD)/2
于是 AC^2=2AF^2=(AB+AD)^2/2
即 AB+AD=√2×AC

追问

于是 AC^2=2AF^2=(AB+AD)^2/2
即 AB+AD=√2×AC
不是AB+AD=√2×AF吗
怎么解得说一下好吗？

追答

AC^2=2AF^2
=2×[(AB+AD)/2]^2
=(AB+AD)^2/2
故 2×AC^2=(AB+AD)^2
即 AB+AD=√2×AC