Question

已知直线l分别与x轴,y轴交于A(a,0),B(0,b)点,且和圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0相切,(其

已知直线l分别与x轴,y轴交于A(a,0),B(0,b)点,且和圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0相切,(其中a>2,b>2)
问（1）啊，b满足什么条件（2）求线段AB长度的最小值

Answer 1

解：
（1）C:x^2+y^2-2x-2y+1=0
直线lA(a,0),B(0,b)
L:Y=-bx/a+b
x^2+(-bx/a+b)^2-2x-2(-bx/a+b)+1=0
(a^2+b^2)X^2-2a(b^2-b+a)x+a^2(b-1)^2=0
△=0
[2a(b^2-b+a)]^2-4(a^2+b^2)a^2(b-1)^2=0
(b^2-b+a)]^2-(a^2+b^2)(b-1)^2=0
2(a+b-1)-ab=0
a,b应满足2(a+b-1)-ab=0
（2）2(a+b-1)-ab=0
a^2+b^2=(ab-2)^2/4,ab<=(a^2+b^2)/2
假设a^2+b^2=t>0
t^2<=(t/2-2)^2/4
(t+4/3)(t-4/5)<=0,t>0
a^2+b^2=t>=4/5
|AB|=√(a^2+b^2)>=2√5/5
AB长度的最小值=2√5/5

追问

2(a+b-1)-ab=0
a^2+b^2=(ab-2)^2/4要平方的话不应该整体平方吗

追答

是整体平方转化的啊。这一步的具体过程为：
2(a+b-1)-ab=0
2（a+b）=ab+2
两边同时平方，得
4（a+b）^2=（ab+2）^2
4a^2+4b^2+8ab=（ab-2）^2+8ab
4a^2+4b^2=(ab-2)^2
a^2+b^2=(ab-2)^2/4

看不明白请追问。

追问

ab<=(a^2+b^2)/2
为什么

追答

ab<=(a^2+b^2)/2是一个基本的不等式。证明如下：
∵（a-b）^2≥0
a^2+b^2-2ab≥0
a^2+b^2≥2ab
2ab≤a^2+b^2
∴ab≤(a^2+b^2)/2

追问

假设a^2+b^2=t>0
t^2<=(t/2-2)^2/4
这一步怎么出来的（抱歉我们还没有学不等式
）

追答

哦 别客气，那学过一个数的平方为非负数也就可以做这个题目了。也就是根据
（a-b）^2≥0可以转化为ab0 （假设的目的是让式子看起来简洁，也就是用t来代表a^2+b^2这个代数式）
将②代入①，
a^2+b^2=(ab-2)^2/4 0 ）
解得
t≥12+8√2

Answer 2

1、设直线方程 2、圆心（1,1）半径1 可以得到一个点到直线的距离式子就是ab关系，后面的忘得差不多了，参考上面吧

Answer 3

这个题目，看起来应该不是很难！！！
你可以用截距式列出直线方程。或写出一般式。然后利用点到直线的距离公式求出即可。注意。点是圆心。距离是小于半径。。同时又有A>2，b>2.所以应该好求。
至于求最小值。你应该可以得出一个方程。将其求导。或则利用均值不等式。看看。

追问

能将求完导的式子写出来么

Answer 4

好难 啊