Question

已知抛物线P的方程是x^2=4y,过直线l:y=-1上任意一点A做抛物线的切线,设切点分别为B,C

（1）证明：ΔABC是直角三角形
（2）证明：直线BC过定点，并求出定点坐标

下星期要交的，希望帮我解下，谢谢~ ：）
为什么光看不帮我解啊？？？？？！

Answer 1

设l上任一点A为(a, -1)
由y=x^2/4,
y'=2x/4=x/2
设切点为(t, t^2/4), 则切线为y=t/2*(x-t)+t^2/4=tx/2-t^2/4
代入点(a,-1)得：-1=ta/2-t^2/4
即 t^2-2at-4=0
得：t1+t2=2a, t1t2=-4
记B(t1, t1^2/4), C(t2, t2^2/4)
则BC^2=(t1-t2)^2+(t1^2/4-t2^2/4)^2=(t1-t2)^2+(t1+t2)^2(t1-t2)^2/16=(t1-t2)^2(1+a^2/4)
=[(t1+t2)^2-4t1t2]*(1+a^2/4)=[4a^2+16](1+a^2/4)=(a^2+4)^2

AB^2=(t1-a)^2+(t1^2/4+1)^2
AC^2=(t2-a)^2+(t2^2/4+1)^2
t1^2+t2^2=(t1+t2)^2-2t1t2=4a^2+8
AB^2+AC^2=2a^2+t1^2+t2^2-2a(t1+t2)+(t1^4+t2^4)/16+(t1^2+t2^2)/2+2
=2a^2+(t1^2+t2^2)*3/2-2a(t1+t2)+[(t1^2+t2^2)^2-2(t1t2)^2]/16+2
=2a^2+(4a^2+8)*3/2-2a*2a+[(4a^2+8)^2-2*16]/16+2
=2a^2+6a^2+12-4a^2+a^4+4a^2+2+2
=a^4+8a^2+16
=(a^2+4)^2
所以有AB^2+AC^2=BC^2
故ABC为直角三角形。

2）BC方程：y=(t2^2/4-t1^2/4)/(t2-t1)*(x-t1)+t1^2/4
=(t2+t1)/4*(x-t1)+t1^2/4
=a/2*(x-t1)+t1^2/4
=ax/2-at1/2+t1^2/4
由t^2-2at-4=0, 得：t^2/4-at/2=1
故有y=ax/2+1
因此直线过定点(0, 1)