设A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组AX=β的通解为(1,1,1,1)T+k(1,-1,0,2)T,其中k为任意常数。
(1)α1能否由α2,α3,α4线性表示?(2)α3能否由α1,α2,α4线性表示?求助啊老师!谢谢。...
(1)α1能否由α2,α3,α4线性表示?
(2)α3能否由α1,α2,α4线性表示?
求助啊老师!谢谢。 展开
(2)α3能否由α1,α2,α4线性表示?
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依题意(1,-1,0,2)T是齐次线性方程组AX=0的解,
∴α1-α2+2α4=0,
(1)α1=α2-2α4,能由α2,α3,α4线性表示;
(2)α3不能由α1,α2,α4线性表示.
∴α1-α2+2α4=0,
(1)α1=α2-2α4,能由α2,α3,α4线性表示;
(2)α3不能由α1,α2,α4线性表示.
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假设χ1=(x1,x2,x3,x4),χ2=(x1',x2',x3',x4')分别是AX=B的两组不相等的解
Aχ1=β (1)
Aχ2=β (2)
(1)-(2)得到
A(χ1-χ2)=0
而χ1-χ2=((1,1,1,1)T+k1(1,-1,0,2)T)-((1,1,1,1)T+k2(1,-1,0,2)T)=(k1-k2)(1,-1,0,2)T
因为k1,k2为任意常数,不妨设k0=k1,k2为任意常数,χ0=χ1-χ2
因此得到齐次线性方程组AX=0的通解χ0=k0*(1,-1,0,2)T
带入方程组得
(α1,α2,α3,α4).k0*(1,-1,0,2)T=0,
α1-α2+2*α4=0
因此
(1)α1可以由α2,α3,α4线性表示,α1=α2-2*α4
(2)α3不能由α1,α2,α4线性表示
Aχ1=β (1)
Aχ2=β (2)
(1)-(2)得到
A(χ1-χ2)=0
而χ1-χ2=((1,1,1,1)T+k1(1,-1,0,2)T)-((1,1,1,1)T+k2(1,-1,0,2)T)=(k1-k2)(1,-1,0,2)T
因为k1,k2为任意常数,不妨设k0=k1,k2为任意常数,χ0=χ1-χ2
因此得到齐次线性方程组AX=0的通解χ0=k0*(1,-1,0,2)T
带入方程组得
(α1,α2,α3,α4).k0*(1,-1,0,2)T=0,
α1-α2+2*α4=0
因此
(1)α1可以由α2,α3,α4线性表示,α1=α2-2*α4
(2)α3不能由α1,α2,α4线性表示
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