Question

如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，点F在AC上从A点向

（2004•三明）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，点F在AC上从A点向C点运动（点A、C除外），AF与DC的延长线相交于点M．（1）求证：△AFD∽△CFM；（2）点F在运动中是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形？若存在，给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

PS：请问这位童鞋学了四点共圆吗？这道题用四点共圆的性质解非常方便。
解：（1）∵直径AB⊥弦CD于点E，∴弧AC=弧AD∴∠CDA=∠DFA，
由A、F、C、D四点共圆得∠MFC=∠CDA=∠DFA，∠MCF=∠FAD
∴△AFD∽△CFM
（2）当F为弧AC的中点时满足△FMD为等腰三角形，证明如下：
由（1）得△AFD∽△CFM，∴FD:FM=FA:FC
∵F为弧AC的中点，∴弧FA=弧FC
∴FA=FC，又FD:FM=FA:FC
∴FD=FM
∴△FMD为等腰三角形
（额~第二问不知道还有没有其他情况……由于时间仓促）

Answer 2

（1）证明FDA=FBA=CMF;DAF=CDF+CFD=MCF
(2)存在，DF,平分AMD时