Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=根号6，点E是棱PB的中点（1）求直线AD与平面PBC

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=根号6，点E是棱PB的中点
（1）求直线AD与平面PBC的距离
（2）若AD=根号3，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值

Answer 1

：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，
因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，
又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，
由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，
故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离，
在Rt△PAB中，PA=AB=根号6，
所以AE=1/2PB=1/2根号(PA^2+AB^2)=根号3
（2）过点D作DF⊥CE，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．
由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，
故AD⊥AE，从而DE=根号(AE^2+AD^2) =根号6
在Rt△CBE中，CE=根号(BE^2+BC^2)=6，由CD=根号6，
所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sinπ3=(3*根号2)/2
因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=1/2AE，
从而FG=(根号3)/2，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，
DG=1/2根号(AD^2+CD^2)=3/2，
所以cos∠DFG=(DF^2+FG^2-DG^2)/2DF•FG=(根号6)/3

Answer 2

用等体积法 VA-PBC=VP-ABC
先设AD到面PBC高为h
证明BC⊥PB
（∵PA⊥面ABCD
BC属于面ABCD
所以BC⊥PA
∵矩形ABCD
所以AB⊥BC
又AB属于面PAB
PA属于面PAB
AB交PA=A
所以BC⊥面PAB
且PB属于面PAB
所以BC⊥PB）
最后两边都有BC可以约掉算出h=根号3
因为是文科生 所以对二面角不要求 sorry~

Answer 3

解：（1）因为三角形PAB是等腰直角三角形
所以角PBC=90度
所以直线AD到平面PBC的距离就是点A到点E的距离
所以AE=根号3
（2）由题目知，连接AE、EC、AC、DE
作EC的中点Q，作过Q点平行于AE的线A'Q，作过Q点平行于DC的线D'Q
所以角A'QD'就是二面角A-EC-D的平面角
A'Q=（根号3）／2
D'Q=（根号6）／2
cos角A'QD'=公式忘了，自己找吧，算出来的就是答案了

Answer 4

把它放到一个四棱柱里看，abcd为一底面，p为一顶点

Answer 5

用等体积法 VA-PBC=VP-ABC
先设AD到面PBC高为h