Question

线性代数证明题！！！如果n阶实方阵满足A^2-3A+2E=0,则R(A-E)+R(A-2E)=n

Answer 1

首先，（A-2E）（A-E）=0。也就是说A-E的每一列都在A-2E的解空间之内，所以R(A-2E)+R(A-E)<=n。
（这个也可以直接由Sylvester不等式得到。对于任意两个n阶矩阵A和B，必有r(A)+r(B)<=r(AB)+n）

假如R(A-2E)+R(A-E)<n，那就是说A-2E的解空间和A-E的解空间必定有非零交集。也就是说存在列向量x使得（A-2E）x=0且（A-E）x=0，两式相减，就发现Ex=0，所以x只能等于0，矛盾。

所以只能有R(A-2E)+R(A-E)=n

Answer 2

用特征值就可以了
(A-E)(A-2E)=0
所以A的特征值m满足(m-1)(m-2)=0
即m=1或2。m总的重数=n
设1是A的k重特征值，则2是n-k重
A-E的特征值=m-1。所以0是A-E的k重特征值
即r(A-E)=n-k
同理r(A-2E)=k
所以r(A-E)+r(A-2E)=n

Answer 3

（A-2E)(A-E)=0,R(A-2E)+R(A-E)小于等于n，R(A-2E)+R(A-E)=R(A-2E)+R(E-A)大于等于n,所以等于n