Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点（1）求证：AE⊥BF；（2）求证：AB1⊥BF；（3）棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

1、取AD中点M，连结FM、BM，交AE于N，

在底面ABCD中，RT△ABM和RT△ADE，

∵AD=AB，

〈BAM=〈ADE=90°，

AM=DE=AB/2，

∴RT△ABM≌RT△DAE，

∴〈DAE=〈ABM，

∵〈MAN+〈BAN=90°，

〈ABN+〈BAN=90°，

∴〈ANB=90°，

∴AE⊥BM，

∵FM//AA1，

AA1⊥平面ABCD，

∴FM⊥平面ABCD，

∵AE∈平面ABCD，

∴FM⊥AE，

∵FM∩BM=M，

∴AE⊥平面FBM，

∵BF∈平面BMF，

∴AE⊥BF。

2、连结A1B，

∵四边形ABB1A1是正方形，

∴A1B⊥AB1，

∵A1F⊥平面ABB1A1，

AB1∈平面ABB1A1，

∴A1F⊥AB1，

∵A1F∩A1B=A1，

∴AB1⊥平面A1BF，

∵BF∈平面A1BF，

∴AB1⊥BF，

3、取CC1中点P，连结C1D，

∵EP是△CDC1的中位线，

∴EP//C1D，

∵B1C1//=AD，

∴四边形B1C1DA是平行四边形，

∴C1D//AB1，

∴PE//AB1，

由1、2所述AE⊥BF，AB1⊥BF，

∴PE⊥BF，

∵AE∩PE=E，

∴BF⊥平面AEP。

Answer 2

1 作FH⊥AD 连接BD BD⊥AE FH ⊥AE 面FEH⊥AE AE⊥BF
2 连接D1C C1D 很显然C1D ⊥平面BCD1F 所以C1D⊥BF 又AB1∥C1D
所以 AB1⊥BF
3 有1和2 可知AE⊥BF AB1⊥BF BF⊥面B1AE 作CP ∥AB1 P在CC1 中点
梯形 EPB1A 和平面AEP共面，故P存在

追问

BD⊥AE ？不垂直吧

追答

两个全等的直角三角形对应边垂直，画个正方形看看就知道了