Question

已知离心率为2√5／5的椭圆x²／a²+y²／b²=1（a＞b＞0）...

已知离心率为2√5／5的椭圆x²／a²+y²／b²=1（a＞b＞0）上的点P到左焦点F的最短距离为（√5 ）-2

2）如果，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标都不垂直的弦AB，若点M在X轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，求椭圆的“左特征点”M坐标

Answer 1

（1）
根据题意：c/a=2√5/5,a-c=√5-2
解得： c=2,a=√5
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆方程为x²/5+y²=1

(2)
椭圆左焦点F(-2,0),
设AB的斜率为k,AB:y=k(x+2)
y=k(x+2)与x²/5+y²=1联立，消去y
得: x²+5k²(x+2)²-5=0
即(5k²+1)x²+20k²x+20k²-5=0
Δ>0恒成立
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-20k²/(5k²+1),x1x2=(20k²-5)/(5k²+1)
设M(m,0)
∵MF为△AMB的一条内角平分线
∴AM与BM的斜率互为相反数
∴y1/(x1-m)+y2/(x2-m)=0
[y1(x2-m)+y2(x1-m)]/[(x1-m)(x2-m)]=0
∴y1(x2-m)+y2(x1-m)=0
(x1+2)(x2-m)+(x2+2)(x1-m)=0
2x1x2+(2-m)(x1+x2)-4m=0
∴2(20k²-5)/(5k²+1)-(2-m)*20k²/(5k²+1)-4m=0
∴40k²-10+20(m-2)k²-4m(5k²+1)=0
∴-10-4m=0
∴m=-5/2
∴椭圆的“左特征点”M(-5/2,0)

Answer 2

求椭圆的“左特征点”M坐标M(-5/2,0)