Question

已知函数f（x）=px2+2/q-3x是奇函数，且f(2)=-5/3

(1) 求函数f（x）解析式
(2) 判断函数f（x）在（0,1）上的单调性，并加以证明

Answer 1

解：f（x）=px2+2/q-3x 是奇函数
所以 f（x）=px2+2/（q-3x ）=-f（-x）= -（px2+2）/（q+3x）
q-3x=-（q+3x）
得到 q=0

有因为 且f(2)=-5/3 得到 p=2
f（x）=（x^2+2）/(-3x)

（2） 推断是单调递增的，
下面证明：设 0<x1<x2<1
则 f（x2）-f（x1）= （x2^2+2）/(-3x2) ）-（x1^2+2）/(-3x1)
=（x1^2+2）/(3x1) -（x2^2+2）/(3x2)
=x2*(x1^2+2）-x1( x2^2+2）/(3x1x2)
=[x2*x1*(x1-x2)+2(x2-x1) ] /(3x1x2)
=[( x2*x1-2)*(x1-x2) ] /(3x1x2)
因为 0<x1x2<1 所以 x2*x1-2<0 ; x1-x2<0
所以 f（x2）-f（x1）>0
故，f（x）在（0,1）上的单调 递增，证毕。

追问

　　奇函数表达式不是这样的吗：f(-x)=—f(x)
“ f（x）=px2+2/（q-3x ）=-f（-x）”怎么会是这样呢？

追答

f(x)=-f(-x),这是奇函数的定义呀

Answer 2

奇函数：f（-x）=-f（x），单调性可以画图看。