Question

如图，圆O的两条弦，AB，CD互相垂直且相交于点p，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，弧AC=弧BD

证明 正方形 为什么AB=CD OE就=OF呢

Answer 1

已知：弧AC=弧BD
所以：弧AC+弧CB=弧BD+弧CB
即：弧AB=弧CD
所以：AB=CD
弦相等，则圆心到弦的距离相等
所以OE=OF

追问

为什么圆心到弦的距离相等

追答

可以证明
连接OA、OB、OC、OC
它们都是半径，所以全相等
所以三角形OAB和三角形OCD全等
所以三角形OAB和三角形OCD面积相等
既然底相等，高也就相等。

Answer 2

E点F点是AB和CD的中点，你可以证明三角形OAB全等于三角形OCF，应该不难吧

Answer 3

证明
当AB=CD时
连接 A和C,B和D
因为弧AC=弧BD,所以AC=BD, 所以⊿ACB全等 ⊿BCD　所以 ∠DCB=∠ACB,即 ⊿BCP为等腰直角三角形.所以 PC=PB 因为 AB=DC
所以PD=PA. 又因为 F和E为 AB和CD的中点.所以PE=PF.及矩形PFOE为正方形.即OE=OF

Answer 4

解：连接OA，OD，则OA=OD
1、∵弧AC=弧BD
　　∴弧AC+弧CB=弧BD+弧CB
　　∴弧AB=弧CD
　　根据如果两个弧长相等时，对应的弦长相等
　　∴AB=CD
2、∵OE⊥AB，OF⊥CD
　　∴∠OEA=∠OFD=90°，AE=1/2AB，DF=1/2CD
　　∴AE=DF
　　∵AE=DF，∠OEA=∠OFD=90°，OA=OD
　　∴△OAD与△ODF相等
　　∴OE=OF

做补充说明，证明当OE⊥AB时，AE=1/2AB
连接OA、OB，则OA=OB
∵OE⊥AB
∴∠OEA=∠OEB=90°
∵OA=OB
∴∠OAE=∠OBE
∵OA=OB，∠OEA=∠OEB=90°，∠OAE=∠OBE
∴△OAE与△OBE相等
∴AE=BE
∴AE=1/2AB
同理可证明DF=1/2CD