Question

已知函数f(x)=4x^2+1/x,(x≠0

已知函数f(x)=4x^2+1/x,(x≠0) 设函数g(x)=ax^3+1/x,(a＞0），若对于任意的x∈（0,2]，都有f(x)≥g(x)成立,求a的取值范围？

Answer 1

解:
x∈（0,2]，有
4x²+1/x≥ax³+1/x成立
4x²≥ax³
4≥ax
4/x≥a成立
令g(x)=4/x
g'(x)=-4/x²
因为g'(x)恒为负值，所以g(x)为R上减函数
当x∈（0,2]时,g(x)有最小值f(2)=2
所以2≥a
因此，a的取值范围是a≤2
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Answer 2

设h(x)=f(x)-g(x) =（4x^2+1/x）-（ax^3+1/x）=4x^2-ax^3
只要求出h(x)≥0 在任意的x∈（0,2]都成立即可：
求导，h(x)'=8x-3x^2=x(8-3ax)
求出h(x)在x属于（0,2]的最小值即可，
令h(x)'=0，求得x=0;或者 x=8/(3a) （由题意知，a>0）

(1)若8/(3a)<=2,则h(x)min=h（8/(3a)）>=0 求得a的范围，并与假设求交集；
(2)若8/(3a)>2,则h(x)min=h(2)>=0 ,求得a的范围，并与假设求交集；
综合（1）（2）即可得到答案。

Answer 3

设 F(x)=f(x)-g(x)=4x^2-ax^3,F(0)=0
F'(x)=8x-3ax^2=x(8-3ax),当0<x<=2时,F'(x)>=x(8-6a)>=0,F(x)单调增加，a<=4/3,
F(X)>=F(0)=0,既，f(x)>=g(x).