Question

已知,如图,在平面直角坐标系xoy中,二次函数y=-1/3x2+bx+c的图像经过点A(-1,1)和点B（2,2），

该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交与点C和点D
（1）求这个二次函数的解析式和他的对称轴
（2）求证：∠ABO=∠CBO
(3)如果点p在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点p的坐标

Answer 1

楼主你好

1、将A、B两点坐标代入抛物线解析式得到关于b、c的二元一次方程组，
解得：b=2／3，c=2，
∴函数解析式为：y=﹙－1／3﹚x²＋﹙2／3﹚x＋2，
∴对称轴x=－﹙2／3﹚／[2﹙－1／3﹚]=1。
2、由A点坐标得到AO直线方程为：y=－x，令x=1代入得C﹙1，－1﹚，
由B点坐标得到BO直线方程为：y=x，令x=1代入得D﹙1，1﹚，
由两点之间的距离公式得：BA=BC=√10，
∴△ABC是等腰△，而AC⊥BO，OA=OC，
∴∠ABO=∠CBO﹙等腰△三线合一定理﹚。
3、由A、B两点得到AB直线方程为：y=﹙1／3﹚x＋4／3，
∴设P点坐标为P﹙m，n﹚，
∴﹙1／3﹚m＋4／3=n，
∴PO=√﹙m²＋n²﹚，PB=√[﹙m－2﹚²＋﹙n－2﹚²]，OB=√﹙2²＋2²﹚=2√2，
而BD=√2，CD=2，BC=√10，
其中∠BDC=135°，由tan∠ABO=AO／BO=√2／﹙2√2﹚=½＜1，∴∠ABO＜45°，
∴P点如果AB延长线上，则∠OBP＞135°，∴P点一定在BA或BA延长线上，
∵∠ABO=∠CBD，∴只要∠BPO=135°就行，
∴令△BPO∽△BDC：得到：BP／BD=PO／DC=BO／BC，代入解得：
m=4／5或－8／5，
∴P点坐标为P﹙4／5，8／5﹚，或P﹙－8／5，4／5﹚。

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