Question

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）右焦点为F，过F的直线L与椭圆C相交于A,B两点，直线L的倾斜角为60°

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）右焦点为F，过F的直线L与椭圆C相交于A,B两点，直线L的倾斜角为60°，|AF|=2|FB|。1、 求椭圆C的离心率2、 如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程

Answer 1

这道经典的题还在啊。建议你用椭圆第二定义做简单，如果你学了的话。椭圆准线x=a^2/c，椭圆上点到准线距离是到焦点距离的a/c倍。过AB分别做准线的垂线AC,BD，BD=2AC,做AE垂直BD，因为AB倾斜角60度，AB=2BE=2AC，AB=3AF，AC=3／2AF，离心率为2／3。第二问一样，AF=1／3AB=5／4，AC=3／2AF=15／8，结合刚才的图，a^2／c-c=5／2，c=2／3a，解得a=3，b^2=5

Answer 2

1.设出A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0),
因为AF=2FB,即(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2), 即y1=-2y2
x^2/a^2+y^2/b^2=1与y=√3(x-c)联立，
得到(1/3b^2+a^2)y^2+(2b^2c/√3)y-b^4=0
y1+y2=-(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)=-y2, y2=(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)
y1*y2=-b^4/(1/3b^2+a^2)=-2*y2^2, 2*y2^2= b^4/(1/3b^2+a^2)
将y2代入上式，得到b^4/(1/3b^2+a^2)=2*(4b^4*c^2/3)/ (1/3b^2+a^2)^2
即8c^2=b^2+3a^2, 即8c^2=a^2-c^2+3a^2,c^2=4/9a^2,e=2/3,
2.|AB|=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)|3y2|=
因为e=2/3,所以c=2/3a,b=√5/3a, 代入y2=(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)
所以y2=(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)=5 √3/24a
|AB|=√(1+1/k^2)|3y2|=(2√3/3)| 5 √3/8 a |=5/4a=15/4,
所以a=3, b=√5
所以x^2/9+y^2/5=1