Question

在△ABC中，A,B,C为三个内角，a,b,c,为三条边，π/3＜C＞π/2，且b/（a-b）=sin2C/（sinA-sin2C)

.在△ABC中，A,B,C为三个内角，a,b,c,为三条边，π/3＜C＞π/2，且b/（a-b）=sin2C/（sinA-sin2C)
（1）判断△ABC的形状
（2）若｜向量BA+向量BC｜=2，求向量BA 乘 向量BC的取值范围

Answer 1

（1）由b/(a-b)=sin2C/(sinA-sin2C)
有(a-b)/b=(sinA-sin2C)/sin2C
即a/b-1=sinA/sin2C-1
即a/b=sinA/sin2C（I）
又由正弦定理知a/sinA=b/sinB
即a/b=sinA/sinB（II）
比较（I）（II）有sinB=sin2C
于是有B=2C或B=π-2C

若B=2C
而A+B+C=π
则A+3C=π
因π/3<C<π/2
则π<3C<3π/2
显然A+3C>π，矛盾

所以B=π-2C
即B+2C=π
又A+B+C=π
则B+2C=A+B+C
即A=C
注意到π/3<C<π/2
表明△ABC为等腰锐角三角形

（2）以下有向线段表示向量
因|BA+BC|=4
则|BA+BC|^2=16
即(BA+BC)^2=16
即BA^2+BC^2+2BA*BC=16
即|BA|^2+|BC|^2+2BA*BC=16
而由A=C易知|BA|=|BC|
则|BA|^2+BA*BC=8（III）
而由向量数量积得BA*BC=|BA||BC|cosB=|BA|^2cosB
则有|BA|^2=8/(1+cosB)（IV）

因π/3<C<π/2，A=C
则2π/3<A+C<π
而A+B+C=π
则0<B<π/3
于是1/2<cosB<1
即有3/2<1+cosB<2
即有1/2<1/(1+cosB)<2/3
所以由（IV）有4<|BA|^2<16/3
又由（III）知BA*BC=8-|BA|^2
所以8/3<BA*BC<4