Question

已知,如图,在三角形ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=6,点D在边BC上

AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：AD=DB；
（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；
（3）当∠DEF=90°时，求BF的长？

Answer 1

（1）

（2）设CE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域
∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6
∴AB=12(勾股定理)
又∵CE=x，BF=y
∴AE=AC-CE=6-x,AF=AB-BF=12-y
∵AE=AF
∴6-x=12-y
∴y=x+6
∵E不与A、C重合
∴0＜x＜6
又∵F点不与A、B重合
∴0＜y＜12 解出-6＜x＜6
综上：y=x+6(0＜x＜6)
（3）
求出BF的长：∵AD平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为H
又∵AH=AH
∴△AEH≌△AFH
∴AE=AF
∵AE=AF
又∵AD平分∠CAB，AD=AD
∴△AED≌△AFD
∴∠AED=∠AFD
∴∠CED=∠DFB
∵EF⊥AD
而要使△DEF为直角三角形
∴∠EDF=90°（∠DEF和∠DFE不可能为直角）
∴∠CDE+∠BDF=90°
又∵∠C=90°
∴∠CDE+∠CED=90°
∴∠BDF=∠CED
又∵∠CED=∠DFB
∴∠BDF=∠DFB
∴BF=BD
∵∠C=90°,AC=6,∠CAD=∠BAD=½∠CAB=30°
∴CD=2√3
又∵∠BAD=∠B=30°
∴BD=AD=2CD=4√3
∴BF=BD=4√3
即当△DEF是直角三角形时，BF的长为4√3

Answer 2

1.AD平分∠CAB，∠CAB=60°，所以∠CAD=∠DAB=30°=∠B，也就是三角形ADB是等腰三角形，所以AD=DB
2.AB=12,AF=(6-X)/2,AF=12-Y,所以y=9+X/2,
3.由题目知道，CD=2√3,所以X=2，则BF＝10