Question

一道有关级数的小题

已知a0,a1,a2.a3，…an,…是等比数列（a≠0），且幂级数 的收敛半径R=1，则其收敛区域是（）
更正a0,a1,a2.a3，…an,…是等差数列

Answer 1

就是（-1,1）

追问

可以写下过程吗

追答

收敛半径R=1，只考虑端点
x=1,级数∑an,只有在|a|<1时才收敛，但是|a|<1时，收敛半径为1/|a|=1,矛盾，所以x=1,级数∑an发散，类似x=-1,级数∑an发散

追问

|a|<1时，解得-1<a<1，为什么与收敛半径为1/|a|=1,矛盾

追答

|a|<1时,求得收敛半径为1/|a|, 已知收敛半径R=1，1/|a|=1 于是|a|=1,与|a|<1矛盾
a0,a1,a2.a3，…an,…是等差数列，an=a0+na ,
x=±1时，liman不为零，故原级数发散。
收敛域仍然是（-1,1）。

Answer 2

a0,a1,a2.a3，…an,…是等比数列

设公比是a,则数列{anx^n}的公比是ax
因此收敛区域为|ax|<1

追问

答案就是（-1,1），这是为啥呢

追答

应该是ax∈ （-1,1）