Question

线性代数。求特征向量

求出特征值后，其中一个为-2，带入得

这个基础解系是怎么求得的。到最后不是x1-x2+x3=0吗？x1=0,x2=1,x3=1不是同样满足吗？为什么他不是基础解系

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Answer 1

一个线性方程组的基础解系是这样的一个解向量组：
1.这个解向量组是线性无关的；
2.方程组的任意一个解向量都可由这个线性无关的解向量组线性表示.

在线性方程组Ax=0中，若矩阵A的秩为r, 则基础解系所含解向量的个数是n-r.
在这里，矩阵A的秩为1，则基础解系所含解向量的个数应该是2个解向量，一个解向量是不能构成一个基础解系的.

另外你给出的那个解正好可以用X1,X2这个基础解系线性表示.X1+X2就是你给出的那个解.

原方程组和x1-x2+x3=0是同解的，若令x2=k1,x3=k2,则x1=k1-k2,
于是方程组的通解为(k1-k2,k1,k2)=k1(1,1,0)+k2(-1,0,1).
可见基础解系就是让自由未知量x2和x3轮流取1，0后再确定出x1所得到的.

一般情况下若线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩为r，则线性方程组有n-r个自由未知量，故基础解系所含解向量的个数是n-r个.让这n-r个自由未知时中的一个取1，其它自由未知时取0，这样可以得到一个解向量。用这样的方法可以得到n-r个解向量，也就得到了基础解系.

Answer 2

实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的，所以－1对应的特征向量是如下方程组的解：
x1＋x3＝0
x1－x3＝0
所以x1＝x3＝0，－1对应的特征向量是k(0，1，0)^T，k任意

Answer 3

x1-x2+x3=0,所以x2=x1＋X3

所以﹙x1 ﹙x1＋0x3 ﹙1 ﹙0
x2＝ x1＋X3 ＝ 1 ×x1＋ 1 ×x3
x3﹚ 0x1＋x3﹚ 0﹚ 1﹚
则两个基础体系为﹙1 ﹙0
1 和 1
0﹚ 1﹚
其通解为x＝
﹙1 ﹙0
1 ×c1 ＋ 1 ×c2
0﹚ 1﹚
所以你说的x1=0,x2=1,x3=1是通解中的一个解，但不是很符合我们定义中所规定的，
希望可以选为满意答案，谢谢