Question

如图,梯形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=2∠BCD=2α,点E在AD上,点F在DC上,且∠BEF=∠A.

（1）∠BEF=

（用含α的代数式表示）；（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变（如图），求 EBEF的值（用含m，n的代数式表示）

Answer 1

（1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，
又∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠A=180°-2α；
故答案为：180°-2α；

（2）EB=EF．
证明：连接BD交EF于点O，连接BF．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，∠ADC=180°-∠C=180°-α．
∵AB=AD，
∴∠ADB=12

（180°-∠A）=α，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α，
由（1）得：∠BEF=180°-2α=∠BDC，
又∵∠EOB=∠DOF，
∴△EOB∽△DOF，
∴OEOD=
OBOF，
即OEOB=
ODOF，
∵∠EOD=∠BOF，
∴△EOD∽△BOF，
∴∠EFB=∠EDO=α，
∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB，
∴EB=EF；

（3）解：延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，
则∠G=∠AEG=180°-∠A2=180°-(180°-2α)2=α，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC，
∴∠EDF=∠G，
∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠GBC，
∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，
即∠EBG=∠FED，
∴△DEF∽△GBE，
∴EBEF=
BGDE，
∵AB=mDE，AD=nDE，
∴AG=AE=（n+1）DE，
∴BG=AG-AB=（n+1）DE-mDE=（n+1-m）DE，
∴EBEF=
BGDE=(n+1-m)DEDE=n+1-m．

Answer 2

（1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，
又∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠A=180°-2α；
故答案为：180°-2α；

（2）EB=EF．
证明：连接BD交EF于点O，连接BF．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，∠ADC=180°-∠C=180°-α．
∵AB=AD，
∴∠ADB=1 2 （180°-∠A）=α，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α，
由（1）得：∠BEF=180°-2α=∠BDC，
又∵∠EOB=∠DOF，
∴△EOB∽△DOF，
∴OE OD =OB OF ，
即OE OB =OD OF ，
∵∠EOD=∠BOF，
∴△EOD∽△BOF，
∴∠EFB=∠EDO=α，
∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB，
∴EB=EF；

（3）解：延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，
则∠G=∠AEG=180°-∠A 2 =180°-(180°-2α) 2 =α，
∵AD∥BC，
∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC，
∴∠EDF=∠G，
∵∠BEF=∠A，
∴∠BEF=∠GBC，
∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，
即∠EBG=∠FED，
∴△DEF∽△GBE，
∴EB EF =BG DE ，
∵AB=mDE，AD=nDE，
∴AG=AE=（n+1）DE，
∴BG=AG-AB=（n+1）DE-mDE=（n+1-m）DE，
∴EB/EF =BG/DE =(n+1-m)DE/DE =n+1-m．

Answer 3

（1）∠BEF= 180°-2α180°-2α
（用含α的代数式表示）；
（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变（如图），求
EBEF的值（用含m，n的代数式表示）