Question

已知函数f(x)=x²(x-3a)+1+(x∈R).

(1)求函数y=f(x)的极值
(2)若函数y=f(x)有三个不同的零点,求实数a的取值范围

Answer 1

（1）：f(X)=x^3-3aX^2+1，f'(X)=3X^2-6aX，令f'(X)=0，X1=0，X2=2a。f(X1)=1，f(X2)=1-4a^3。

（2）：若y=f(X)有三个不同的零点，则y=f(X)存在两个不同的极值，即X1≠X2，a≠0。且f(X1)*f(X2)<0，1-4a^3<0，a>4^(-1/3)。根据一元三次函数的曲线走向，因为f(X1)>0，f(X2)<0，所以X2>X1，a>0。综上所述，a>4^(-1/3)。