Question

已知定义在区间[- π/2,π]上的函数y=f(x)的图像关于直线x=π/4对称，当x>=π/4时，f(x)=sinx

(1)求f(-π/2)，f(-π/4)的值；（2）求y=f(x)的函数表达式；（3）如果关于x的方程f(x)=a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为M，求M的所有可能取值及相对应的a的取值范围。

Answer 1

已知定义在区间[- π/2,π]上的函数y=f(x)的图像关于直线x=π/4对称，当x>=π/4时，f(x)=sinx
(1)求f(-π/2)，f(-π/4)的值；（2）求y=f(x)的函数表达式；（3）如果关于x的方程f(x)=a有解，那么将方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为M，求M的所有可能取值及相对应的a的取值范围。
(1)解析：∵函数y=f(x)的图像关于直线x=π/4对称，x属于[- π/2,π]，当x>=π/4时，f(x)=sinx
∴x属于[- π/2,π/4]时，f(x)=f(2*π/4-x)=sin(π/2-x)=cosx
f(-π/2)=cos(-π/2)=0，f(-π/4)=cos(-π/4)=√2/2
(2)解析：∵函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称
∴当x∈[π/4,π]时，f(x)=sinx；x∈[-π/2,π/4]时，f(x)=cosx
(3)解析：∵方程f(x)=a有解，f(x)的图像关于直线x=π/4对称
∴f(-π/2)=cos(-π/2)=0,f(π)=sin(π)=0==>a∈[0,1]
当f(x)=0时，x1=-π/2或x2=π==>x1+x2=π/2
当f(x)=1/2时，x1=-π/3或x2=5π/6==>x1+x2=π/2
当f(x)=√2/2时，x1=-π/4或x2=π/4或x3=3π/4==>x1+x2+x3=3π/4
当f(x)=√3/2时，x1=-π/6或x2=π/6或x3=π/3或x4=2π/3==>x1+x2+x3+x4=π
当f(x)=1时，x1=0或x2=π/2==>x1+x2=π/2

综上：a∈[0,√2/2)时，方程f(x)=a有二解，M=π/2
a=√2/2时，方程f(x)=a有三解，M=3π/4
a∈(√2/2,1)时，方程f(x)=a有四解，M=π
a=1时，方程f(x)=a有二解，M=π/2

Answer 2

f(π/4-x)=f(π/4+x)
π/4-x=t x=π/4-t
f(t)=f(π/2-t)
f(x)=f(π/2-x)
x>=π/4时，f(x)=sinx f(-π/2)=f(π/2-(-π/2)=f(π)=sinπ=0
f(-π/4)=f(π/2-(-π/4))=f(3π/4)=sin(3π/4)=根号2/2

关于x=π/4对称，所以，x<π/4时，
f(π/4+x)=f(π/4-x)
x>=0 时，-x=<0 π/4-x=<π/4
所以f(π/4+x)=sin(π/4+x) x>=0
f(π/4-x)=sin(π/4+x) x>=0
令：由于π/4-x<=π/4
设：π/4-x=t
f(t)=sin(π/4+(π/4-t))=sin(π/2-t)
f(x)=sin(π/2-x)=cosx x<=π/4
表达式为：f(x)=sinx x>=π/4 f(x)=cosx x<π/4

同问已知定义在区间[- π/2,π]上的函数y=f(x)的图像关于直线x=π/4对称，当x>=π/4时，f(x)=sinx.检举|2010-09-23 13:20提问者：蝄及如果关于x的方程f(x)=a有解，那么将方程在a取某一确定的值时，所得所有解的和记为Ma,求Ma的所有可能取值及相应的a的取值范围。我来帮他解答
满意回答检举|2010-09-23 13:27π/4<=x<=π
则x=π，sinx最小=0
x=π/2，sinx最大=1
所以0<=a<=1

x=π/4时，sin3π/4=sinπ/4
且3π/4关于对称轴的对称点的值也相等
所以相加是对称轴的2倍=π/2
所以解的和=3π/4
此时a=√2/2

π/4<x<π/2,π/2<x<3π/4
则此时一个a要对应两个x
再加上另一边的，所以有4个解
他们两辆关于x=π/4对称
所以和=4*π/4=π
√2/2<a<1

x=π/2,或3π/4<x<π,此时只有1个x了
再加上对称的一个
则和=2*π/4=π/2
此时0<=a<√2/2

所以
Ma=3π/4,a=√2/2
Ma=π,a=√2/2<a<1
Ma=π/2,0<=a<√2/2

Answer 3

解：（1）f(-π/2)=f(2*π/4+π/2)=f(π)=sinπ=0
f（-π/4)=f(2*π/4+π/4)=f(3π/4)=sin(3π/4）=根号2/2
(2)当x>=π/4时，f(x）=sinx
当x<π/4时，f（x)=f(2*π/4-x)=f(π/2-x)=sin(π/2-x)=cosx.
(3)π/4<=x<=π，0<=f(x)=sinx<=1;；-π/2<=x<=π/4,，0<=f(x)=cosx<=1.。f(x)=a
1)a=0,时，M=-π/2+π=π/2
2)0<a<根号2/2时，M=（π-a）+（-π/2+a)=π/2
3)a=根号2/2时，M=π/4+3π/4-π/4=3π/4
4)根号2/2<a<1时，M=a+（π-a）+（-π/2+a)+(π/2-a)=π
5）a=1时，M=π/2+0=π/2

Answer 4

mjkjhkjhkjgkhgjkkkkkkkkkkkkk

追问

你是不是有病

追答

1+1=294你