Question

求解九年级数学的一道三角形全等或相似的难题，求解具体的解答过程。谢谢了

如下图所示，在等边三角形ABC中，点D是AC边的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP.将ΔABP绕点P按顺时针方向旋转a角度（0°<a<180°），得到ΔA1B1P，连接AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F。当0°<a<60°时，在a角度的变化过程中，ΔBEF与ΔAEP始终存在着（ ）的关系。（填“全等”或“相似”）
请写出你的证明过程？

Answer 1

（1） 相似
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P
则 ∠PAA1 =∠PBB1 =
∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP
（2）存在，理由如下：
易得：△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60° ∴∠BAE=
∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE
∴ 即α=2β+60°
（3）连结BD，交A1B1于点G，
过点A1作A1H⊥AC于点H.

∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC
由题意得：AP= A1 P ∠A=60°
∴△PAA1是等边三角形
∴A1H= 在Rt△ABD中，BD=
∴BG=
∴ （0≤x＜2）

Answer 2

设A1B1和AB相交于点T，由于角∠TAP=∠TA1P,所以A,P,A1，
T四点共圆,∠A1AT=∠A1PT,∠EAP=∠PTB1。
同理,由于∠TBP=∠TB1P,所以T,P,B,B1,四点共圆。
∠PTB1=PBB1=∠FBE,所以∠EAP=∠FBE
又由于∠AEP=∠BEF,所以∠EFB=∠EAP,
所以△BEF ∽△AEP

Answer 3

因为△A1B1P是由△ABP旋转而得，故AP=A1P,PB=PB1. ∠APB=∠A1PB1,所以∠PBB1=∠PB1B.∠AA1P=∠A1AP,∠APA1=∠BPB1，所以∠PAA1=∠PA1A=∠PBB1=∠PB1B.
因为是对顶角，所以∠EBF=∠PBB1=∠EAP。又因为∠AEP与∠FEB是同一个角，所以△EFB相似于△ABE。
这个应该够明白喽。