Question

三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，1）如图，E，F分别是AB，AC上的

三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，
1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，切BE=AF，则△DEF为等腰直角三角线，请说明理由。
2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，扔有BE=AF，则△DEF是否仍为等腰直角三角形？请在答题卷上按题意作出图形、说明理由。

Answer 1

如图：连结AD

证三角形ADF≌△BDE（BD=AD ∠B=∠DAF=45 BE=AF）

得ED＝FD

∠1=∠2

∵∠2+∠3=90

∴∠1+∠3=90

即∠EDF=90

   ∴△DEF是等腰直角三角形

 

 

如图：连结AD

证三角形ADF≌△BDE（BD=AD ∠EBD=∠DAF=135 BE=AF）

得ED＝FD

∠1=∠2

∵∠1+∠3=90

∴∠2+∠3=90

即∠EDF=90

   ∴△DEF是等腰直角三角形

Answer 2

（1）证明：连接AD（5分）
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD．（1分）
∴∠B=∠DAC=45°（5分）
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）．（2分）
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．（5分）
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．（3分）

（2）解：△DEF为等腰直角三角形．
证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：
连接AD，（4分）
∵AB=AC，
∴△ABC等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），
∴∠DAC=∠ABD=45°．
∴∠DAF=∠DBE=135°．（5分）
又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS）．（6分）
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．（5分）
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．（7分）