Question

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，8），若抛物线的对称轴为直线x＝－1，且△ABC的

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，8），若抛物线的对称轴为直线x＝－1，且△ABC的面积为40
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在直线BC上，是否存在这样的点Q，使得点Q到直线AC的距离为5？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）SABC=1/2*|AB|*|yC|=4|AB|=40 ，因此 |AB|=10 ，

由于抛物线对称轴为 x= -1 ，所以 A、B 距 x= -1 的距离都是 5 ，

那么 A（-6，0），B（4，0），

又 C（0，8），

所以由 y=a(x+6)(x-4) 及 8=a(0+6)(0-4) 得 a= -1/3 ，

因此抛物线解析式为 y= -1/3*(x+6)(x-4) 。

（2）由于 |AC|=√(36+48)=10 ，因此由 SABC=1/2*|AC|*h=40 得 B 到 AC 的距离为 h=8 ，

由于 8>5 ，所以在线段 BC 上存在到 AC 距离为 5 的点 Q ，在BC延长线上也存在这样的点。

由相似形及比例容易得到 Q 纵坐标为 3 ，横坐标为 5/2 ，即 Q 坐标为（5/2，3），

它关于点 C 的对称点 Q1（-5/2，13）也满足条件，

所以，在直线 BC 上存在两点（-5/2，13）、（5/2，3），它们到直线 AC 的距离均为 5 。

Answer 2

⑴设直线x＝－1交x轴于点D，则AD＝BD
∵S△ABC＝1/2·AB·OC＝40
∴1/2·AB×8＝40
∴AB＝10
∴BD＝5
∴OB＝BD－OD＝4，OA＝AB－OB＝6
即：点A的坐标为(－6，0)，点B的坐标为(4，0)
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式得：
c＝8
36a－6b＋c＝0
16a＋4b＋c＝0
解得：a＝－1/3，b＝－2/3，c＝8
∴函数解析式为：y＝－1/3·x^2－2/3·x＋8

⑵直线BC上存在点Q，使得点Q到直线AC的距离为5
注意到AC＝√(OA^2＋OC^2)＝10＝AB
设直线BC的函数解析式为：y＝kx＋b，把B、C的坐标代入得：
4k＋b＝0
b＝8
得：k＝－2
∴直线BC的函数解析式为：y＝－2x＋8
①当点Q在BC上时，过点Q作QN⊥AC于点N，作QM⊥AB于点M，连结AQ
则S△ACQ＋S△ABQ＝S△ABC＝40
∴1/2·AC·QN＋1/2·AB·QM＝40
∴1/2×10×5＋1/2×10·QM＝40
∴QM＝3，即点Q的纵坐标为3
∴点Q的横坐标为：3＝－2x＋8，得x＝5/2
此时点Q的坐标为(5/2，3)
②当点Q在BC的延长线上时，过点Q作QF⊥AC于点F，作QE⊥AB于点E，连结AQ
则S△ABQ－S△ACQ＝S△ABC＝40，QF＝5
∴1/2·AB·QE－1/2·AC·QF＝40
∴1/2×10·QE－1/2×10×5＝40
∴QE＝13，即点Q的纵坐标为13
∴点Q的横坐标为：13＝－2x＋8，得x＝－5/2
此时点Q的坐标为(－5/2，13)
故所求的(5/2，3)或(－5/2，13)

Answer 3

抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，8），
c=8.
抛物线 y＝ax^2＋bx＋8
对称轴为直线x＝-b/2a= -1,b=2a,IABI=Ix1-x2I=根号[(x1+x2)^2-4x1x2=根号(-b/a)^2-4*8/a
1/2*IABI*IOCI=40,IABI*IOCI=80
[(-b/a)^2-4*8/a]8^2=8^2*10^2,b=2a
a= -1/3,,b=2a=-2/3
抛物线的函数关系式:y＝ -1/3x^2-2/3x＋8
由y＝ -1/3x^2-2/3x＋8可求得B(4,0),C（0，8）设BC方程为y＝Kx+b
求得BC方程y＝-2x+8,2x+y+8=0,点Q在y＝-2x+8,上Q坐标(x,-2x+8)
由A(-6,0),C（0，8）得AC方程:y＝4/3x+8,4x-3y+8=0
I4x-3y+8I/根号(4^2+3^2)=5
I4x-3(-2x+8)+8I=25
I10x-16I=25
x1=11/10 或 x2=21/10
y1=-2x+8=-22/10+8=58/10,y1=-2x+8=-42/10+8=38/10
Q1(11/10 ,58/10),Q2(21/10,38/10)

Answer 4

5年没有接触数学了，哈哈。不知道对不。仅供参考
因为，ABC的面积为(AB*0C)/2=40 所以AB=10
因为，抛物线的对称轴为直线x＝－1 ，所以A(-6，0),B(4,0)
又因为：C（0,8）
所以：c=8，
a*(-6)^2+(-6)b+c=0 36a-6b=-8
a*4^2+4b+c=0 16a+4b=-8
所以：a=-4/15,b=-14/15;：
所以：y=-4/15x^2-14/15x+8;
2、
OA^2+OC^2=AC^2
所以AC=10
设B垂直AC于D，那么AC*BD/2=40,所以BD=4，
所以不存在Q点

Answer 5

（1）SABC=1/2*|AB|*|yC|=4|AB|=40 ，因此 |AB|=10 ，

由于抛物线对称轴为 x= -1 ，所以 A、B 距 x= -1 的距离都是 5 ，
那么 A（-6，0），B（4，0），
又 C（0，8），
所以由 y=a(x+6)(x-4) 及 8=a(0+6)(0-4) 得 a= -1/3 ，
因此抛物线解析式为 y= -1/3*(x+6)(x-4) 。
（2）由于 |AC|=√(36+48)=10 ，因此由 SABC=1/2*|AC|*h=40 得 B 到 AC 的距离为 h=8 ，
由于 8>5 ，所以在线段 BC 上存在到 AC 距离为 5 的点 Q ，在BC延长线上也存在这样的点。
由相似形及比例容易得到 Q 纵坐标为 3 ，横坐标为 5/2 ，即 Q 坐标为（5/2，3），
它关于点 C 的对称点 Q1（-5/2，13）也满足条件，
所以，在直线 BC 上存在两点（-5/2，13）、（5/2，3），它们到直线 AC 的距离均为 5 。