证明:当x>0时,x/(1+x2)<arctanx<x.(x2指x平方)
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证明:设y=x/(1+x²)-arctanx,由于y'=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)²-1/(1+x²)=(1-x²)/(1+x²)²-1/(1+x²)
=[(1-x²)-(1+x²)]/(1+x²)²=-2x²/(1+x²)<0,故y是减函数;当x=0时,y=0;当x>0时必有y<0;
即不等式x/(1+x²)<arctanx在x>0时成立;
再设u=arctanx-x,由于u'=1/(1+x²)-1=-x²/(1+x²)<0,故u也是减函数;当x=0时u=0;故当x>0时
必有u=arctanx-x<0,即不等式arctanx<x在x>0时成立。
于是命题得证。
=[(1-x²)-(1+x²)]/(1+x²)²=-2x²/(1+x²)<0,故y是减函数;当x=0时,y=0;当x>0时必有y<0;
即不等式x/(1+x²)<arctanx在x>0时成立;
再设u=arctanx-x,由于u'=1/(1+x²)-1=-x²/(1+x²)<0,故u也是减函数;当x=0时u=0;故当x>0时
必有u=arctanx-x<0,即不等式arctanx<x在x>0时成立。
于是命题得证。
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