Question

求极限limx→o (cossinx-cosx)/(x2(1-cosx))=?

Answer 1

先把分母等价代换，代换为1/2x4然后对于分子，可以用和差化积cos（sinx）-cosx=-2sin(（sinx+x）/2)sin((sinx-x)/2)，再对分子用等价代换，从而分子=-（sinx+x）(sinx-x)/2，由两个因式-（sinx+x）和(sinx-x)/2组成，前一个因式等价于-2x，后一个因式-1/12x3,所以极限为1/3

Answer 2

常用等价无穷小x→0时，1-cosx~x²/2，sinx→0时，cossinx~1-sin²x/2，则limx→o (cossinx-cosx)/(x²(1-cosx))=limx→o(1-sin²x/2-cosx)/(x²(1-cosx))=limx→o(1-cosx)²/(2x²(1-cosx))=limx→o(1-cosx)/2x²=(x²/2)/2x²=1/4。