定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy

⑴求证:函数f(x)是奇函数⑵若当x∈(-1,0)是,有f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是减函数(3)若f(1/5)=-1/2,试求f(1/2)-f(1/11... ⑴求证:函数f(x)是奇函数
⑵若当x∈(-1,0)是,有f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是减函数
(3)若f(1/5)=-1/2,试求f(1/2)-f(1/11)-f(1/19)的值注:关键是第三小题不会
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【解】
1、 首先,取x=y=0;则有:
f(0)+f(0)=f(0) 所以:f(0)=0;
取y=-x得到:
f(x)+f(-x)=f(0)=0;
所以:f(-x)=-f(x);
所以:为奇函数;
2、念察毁取x>y;由于f(x)为奇函数,所以:f(-y)=-f(y);
所以:
f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)
=f( (x-y)/(1-xy) )
=-f((y-x)/(1-xy) )
由于1>x>y>-1,所以:
(y-x)/(1-xy)<0;
所以:f((y-x)/(1-xy) )>0;
所以:
f(x)-f(y)=-f((y-x)/(1-xy) )<0;
f(x)<f(y);
所以:没手f(x)在(-1,1)上为减函数。
3.
令x=1/仔备n+1,y=1/n+2,由f(x)+f(y)=f(x+y/1+xy)和函数为奇函数易得:
f(1/n+1)-f(1/n+2)=f(1/n+1)+f【-(1/n+2)】=f(1/n^2+3n+1)

n=1时有f(1/2)-f(1/3)=f(1/5)
n=2时有f(1/3)-f(1/4)=f(1/11)
n=3时有f(1/4)-f(1/5)=f(1/19)
上面三式相加得到:f(1/2)-f(1/5)=f(1/5)+f(1/11)+f(1/19)
即有f(1/2)-f(1/11)-f(1/19)=2f(1/5)=-1
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