Question

如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D是BC边上的动点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F

如图所示,已知△ABC中,AB=AC,D是BC边上的动点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
（1）：当点D在什么位置时，∠DEF=∠DFE？并加以证明
（2）：在（1）的条件下，EF与BC是否平行？说明理由

Answer 1

解：
（1）当D为BC中点时（采用假证法）
证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴∠ABC=∠ACB，BD=DC．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEB=∠DFC=90°
在△DEB和△DFC中，
∠DEB=∠DFC
∠ABC=∠ACB
BD=DC
∴△DEB≌△DFC（AAS），
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE；
（2）
∵△DEB≌△DFC，
∴BE=CF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠ABC=∠AEF，
∴EF∥BC．
祝您学习进步！！！

Answer 2

(1)当D在BC中点，∠DEF=∠DFE
证明：
∵D在BC中点
∴BD=BC
∴S△ABD=S△ACD
∵S△ABD=AB×DE/2，S△ACD=AC×DF/2
∴AB×DE/2=AC×DF/2
∵AB=AC
∴DE=DF
∴∠DEF=∠DFE 得证

(2)当D在BC中点，EF∥BC
证明：

∵△ABD和△ACD是直角三角形
又∵DE=DF(已证)，BD=BC
∴△ABD≌△ACD
∴BE=CF
∵AB=AC，即AE+BE=AF+CF
∴AE=AF
∴AE/AB=AF/AC
∴EF//BC 得证

追问

倒数第二步看不大懂……能讲讲吗？能再说说吗亲……

追答

在这个三角形中，如果AE/AB=AF/AC，那么EF//BC 这个就是利用比例关系证明平行。是可以直接证明平行的判定方法。反过来，如果EF//BC，那么也有AE/AB=AF/AC=EF/BC

追问

是这样啊……我们还没学到那里呢，不敢这么用，不过还是谢谢你了哈！